Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31327 / 38303
↖ ↑ ↗
← S 29.070574°
W  7.915649°		 ← 533.84 m → S 29.070574°
W  7.910156°		 →
↑
533.89 m
↓
↑
533.89 m
↓
S 29.075375°
W  7.915649°		 ← 533.82 m →
285 006 m²		 S 29.075375°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478019714355469 y=0.584465026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478019714355469 × 216)
    floor (0.478019714355469 × 65536)
    floor (31327.5)     		tx = 31327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584465026855469 × 216)
    floor (0.584465026855469 × 65536)
    floor (38303.5)     		ty = 38303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31327 / 38303 ti = "16/31327/38303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31327/38303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31327 ÷ 216
    31327 ÷ 65536     		x = 0.478012084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38303 ÷ 216
    38303 ÷ 65536     		y = 0.584457397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478012084960938 × 2 - 1) × π
    -0.043975830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13815414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584457397460938 × 2 - 1) × π
    -0.168914794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.530661478794022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13815414} λ = -0.13815414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530661478794022))-π/2
    2×atan(0.588215748717755)-π/2
    2×0.531709546259275-π/2
    1.06341909251855-1.57079632675     		φ = -0.50737723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13815414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50737723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.070574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31327 KachelY 38303 -0.13815414 -0.50737723 -7.915649 -29.070574
    Oben rechts KachelX + 1 31328 KachelY 38303 -0.13805827 -0.50737723 -7.910156 -29.070574
    Unten links KachelX 31327 KachelY + 1 38304 -0.13815414 -0.50746103 -7.915649 -29.075375
    Unten rechts KachelX + 1 31328 KachelY + 1 38304 -0.13805827 -0.50746103 -7.910156 -29.075375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50737723--0.50746103) × R
    8.37999999999672e-05 × 6371000     		dl = 533.889799999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50737723--0.50746103) × R
    8.37999999999672e-05 × 6371000     		dr = 533.889799999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13815414--0.13805827) × cos(-0.50737723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874021881046441 × 6371000     		do = 533.841875655549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13815414--0.13805827) × cos(-0.50746103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873981160683682 × 6371000     		du = 533.817004155986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50737723)-sin(-0.50746103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874021881046441-0.873981160683682)×R²
    abs(-0.13805827--0.13815414)×4.0720362758595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0720362758595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0720362758595e-05×40589641000000     		ar = 285006.093072034m²