Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31327 / 19745
↖ ↑ ↗
← N 57.981896°
W  7.915649°		 ← 323.83 m → N 57.981896°
W  7.910156°		 →
↑
323.90 m
↓
↑
323.90 m
↓
N 57.978983°
W  7.915649°		 ← 323.86 m →
104 894 m²		 N 57.978983°
W  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478019714355469 y=0.301292419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478019714355469 × 216)
    floor (0.478019714355469 × 65536)
    floor (31327.5)     		tx = 31327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301292419433594 × 216)
    floor (0.301292419433594 × 65536)
    floor (19745.5)     		ty = 19745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31327 / 19745 ti = "16/31327/19745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31327/19745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31327 ÷ 216
    31327 ÷ 65536     		x = 0.478012084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19745 ÷ 216
    19745 ÷ 65536     		y = 0.301284790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.478012084960938 × 2 - 1) × π
    -0.043975830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13815414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301284790039062 × 2 - 1) × π
    0.397430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24856448750398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13815414} λ = -0.13815414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24856448750398))-π/2
    2×atan(3.48533612107891)-π/2
    2×1.29138565692651-π/2
    2.58277131385302-1.57079632675     		φ = 1.01197499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13815414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01197499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.981896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31327 KachelY 19745 -0.13815414 1.01197499 -7.915649 57.981896
    Oben rechts KachelX + 1 31328 KachelY 19745 -0.13805827 1.01197499 -7.910156 57.981896
    Unten links KachelX 31327 KachelY + 1 19746 -0.13815414 1.01192415 -7.915649 57.978983
    Unten rechts KachelX + 1 31328 KachelY + 1 19746 -0.13805827 1.01192415 -7.910156 57.978983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01197499-1.01192415) × R
    5.08399999998854e-05 × 6371000     		dl = 323.90163999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01197499-1.01192415) × R
    5.08399999998854e-05 × 6371000     		dr = 323.90163999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13815414--0.13805827) × cos(1.01197499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530187200753059 × 6371000     		do = 323.831858030496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13815414--0.13805827) × cos(1.01192415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530230306318165 × 6371000     		du = 323.858186382482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01197499)-sin(1.01192415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530187200753059-0.530230306318165)×R²
    abs(-0.13805827--0.13815414)×4.31055651051171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31055651051171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31055651051171e-05×40589641000000     		ar = 104893.933820765m²