Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31324 / 19810
↖ ↑ ↗
← N 57.792089°
W  7.932129°		 ← 325.58 m → N 57.792089°
W  7.926636°		 →
↑
325.56 m
↓
↑
325.56 m
↓
N 57.789161°
W  7.932129°		 ← 325.61 m →
105 999 m²		 N 57.789161°
W  7.926636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477973937988281 y=0.302284240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477973937988281 × 216)
    floor (0.477973937988281 × 65536)
    floor (31324.5)     		tx = 31324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302284240722656 × 216)
    floor (0.302284240722656 × 65536)
    floor (19810.5)     		ty = 19810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31324 / 19810 ti = "16/31324/19810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31324/19810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31324 ÷ 216
    31324 ÷ 65536     		x = 0.47796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19810 ÷ 216
    19810 ÷ 65536     		y = 0.302276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.0440673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13844177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302276611328125 × 2 - 1) × π
    0.39544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24233269055338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13844177} λ = -0.13844177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24233269055338))-π/2
    2×atan(3.46368375072846)-π/2
    2×1.28972927829649-π/2
    2.57945855659298-1.57079632675     		φ = 1.00866223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13844177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00866223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.792089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31324 KachelY 19810 -0.13844177 1.00866223 -7.932129 57.792089
    Oben rechts KachelX + 1 31325 KachelY 19810 -0.13834589 1.00866223 -7.926636 57.792089
    Unten links KachelX 31324 KachelY + 1 19811 -0.13844177 1.00861113 -7.932129 57.789161
    Unten rechts KachelX + 1 31325 KachelY + 1 19811 -0.13834589 1.00861113 -7.926636 57.789161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00866223-1.00861113) × R
    5.11000000000816e-05 × 6371000     		dl = 325.55810000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00866223-1.00861113) × R
    5.11000000000816e-05 × 6371000     		dr = 325.55810000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13844177--0.13834589) × cos(1.00866223) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.532993111356728 × 6371000     		do = 325.579630902037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13844177--0.13834589) × cos(1.00861113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.533036347371356 × 6371000     		du = 325.606041685562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00866223)-sin(1.00861113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532993111356728-0.533036347371356)×R²
    abs(-0.13834589--0.13844177)×4.32360146283006e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.32360146283006e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.32360146283006e-05×40589641000000     		ar = 105999.385180713m²