Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31323 / 19817
↖ ↑ ↗
← N 57.771588°
W  7.937622°		 ← 325.73 m → N 57.771588°
W  7.932129°		 →
↑
325.75 m
↓
↑
325.75 m
↓
N 57.768659°
W  7.937622°		 ← 325.76 m →
106 111 m²		 N 57.768659°
W  7.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477958679199219 y=0.302391052246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477958679199219 × 216)
    floor (0.477958679199219 × 65536)
    floor (31323.5)     		tx = 31323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302391052246094 × 216)
    floor (0.302391052246094 × 65536)
    floor (19817.5)     		ty = 19817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31323 / 19817 ti = "16/31323/19817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31323/19817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31323 ÷ 216
    31323 ÷ 65536     		x = 0.477951049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19817 ÷ 216
    19817 ÷ 65536     		y = 0.302383422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477951049804688 × 2 - 1) × π
    -0.044097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13853764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302383422851562 × 2 - 1) × π
    0.395233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24166157395869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13853764} λ = -0.13853764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24166157395869))-π/2
    2×atan(3.46135999492738)-π/2
    2×1.28955037725009-π/2
    2.57910075450018-1.57079632675     		φ = 1.00830443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13853764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.937622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00830443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.771588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31323 KachelY 19817 -0.13853764 1.00830443 -7.937622 57.771588
    Oben rechts KachelX + 1 31324 KachelY 19817 -0.13844177 1.00830443 -7.932129 57.771588
    Unten links KachelX 31323 KachelY + 1 19818 -0.13853764 1.00825330 -7.937622 57.768659
    Unten rechts KachelX + 1 31324 KachelY + 1 19818 -0.13844177 1.00825330 -7.932129 57.768659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00830443-1.00825330) × R
    5.11299999998993e-05 × 6371000     		dl = 325.749229999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00830443-1.00825330) × R
    5.11299999998993e-05 × 6371000     		dr = 325.749229999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13853764--0.13844177) × cos(1.00830443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533295818818792 × 6371000     		do = 325.730563926647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13853764--0.13844177) × cos(1.00825330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533339070462282 × 6371000     		du = 325.756981501523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00830443)-sin(1.00825330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533295818818792-0.533339070462282)×R²
    abs(-0.13844177--0.13853764)×4.3251643490172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3251643490172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3251643490172e-05×40589641000000     		ar = 106110.783161838m²