Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31323 / 19672
↖ ↑ ↗
← N 58.193871°
W  7.937622°		 ← 321.91 m → N 58.193871°
W  7.932129°		 →
↑
321.93 m
↓
↑
321.93 m
↓
N 58.190976°
W  7.937622°		 ← 321.94 m →
103 637 m²		 N 58.190976°
W  7.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477958679199219 y=0.300178527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477958679199219 × 216)
    floor (0.477958679199219 × 65536)
    floor (31323.5)     		tx = 31323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300178527832031 × 216)
    floor (0.300178527832031 × 65536)
    floor (19672.5)     		ty = 19672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31323 / 19672 ti = "16/31323/19672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31323/19672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31323 ÷ 216
    31323 ÷ 65536     		x = 0.477951049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19672 ÷ 216
    19672 ÷ 65536     		y = 0.3001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477951049804688 × 2 - 1) × π
    -0.044097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13853764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3001708984375 × 2 - 1) × π
    0.399658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25556327484851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13853764} λ = -0.13853764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25556327484851))-π/2
    2×atan(3.50981480805693)-π/2
    2×1.29323549241578-π/2
    2.58647098483157-1.57079632675     		φ = 1.01567466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13853764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.937622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01567466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.193871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31323 KachelY 19672 -0.13853764 1.01567466 -7.937622 58.193871
    Oben rechts KachelX + 1 31324 KachelY 19672 -0.13844177 1.01567466 -7.932129 58.193871
    Unten links KachelX 31323 KachelY + 1 19673 -0.13853764 1.01562413 -7.937622 58.190976
    Unten rechts KachelX + 1 31324 KachelY + 1 19673 -0.13844177 1.01562413 -7.932129 58.190976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01567466-1.01562413) × R
    5.05299999999931e-05 × 6371000     		dl = 321.926629999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01567466-1.01562413) × R
    5.05299999999931e-05 × 6371000     		dr = 321.926629999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13853764--0.13844177) × cos(1.01567466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527046700965475 × 6371000     		do = 321.913679168552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13853764--0.13844177) × cos(1.01562413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527089642521982 × 6371000     		du = 321.939907346092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01567466)-sin(1.01562413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527046700965475-0.527089642521982)×R²
    abs(-0.13844177--0.13853764)×4.29415565073032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29415565073032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29415565073032e-05×40589641000000     		ar = 103636.807681825m²