Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31322 / 19811
↖ ↑ ↗
← N 57.789161°
W  7.943115°		 ← 325.57 m → N 57.789161°
W  7.937622°		 →
↑
325.62 m
↓
↑
325.62 m
↓
N 57.786233°
W  7.943115°		 ← 325.60 m →
106 018 m²		 N 57.786233°
W  7.937622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477943420410156 y=0.302299499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477943420410156 × 216)
    floor (0.477943420410156 × 65536)
    floor (31322.5)     		tx = 31322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302299499511719 × 216)
    floor (0.302299499511719 × 65536)
    floor (19811.5)     		ty = 19811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31322 / 19811 ti = "16/31322/19811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31322/19811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31322 ÷ 216
    31322 ÷ 65536     		x = 0.477935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19811 ÷ 216
    19811 ÷ 65536     		y = 0.302291870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.04412841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13863351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302291870117188 × 2 - 1) × π
    0.395416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24223681675414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13863351} λ = -0.13863351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24223681675414))-π/2
    2×atan(3.46335169012612)-π/2
    2×1.28970372722287-π/2
    2.57940745444574-1.57079632675     		φ = 1.00861113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13863351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.943115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00861113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.789161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31322 KachelY 19811 -0.13863351 1.00861113 -7.943115 57.789161
    Oben rechts KachelX + 1 31323 KachelY 19811 -0.13853764 1.00861113 -7.937622 57.789161
    Unten links KachelX 31322 KachelY + 1 19812 -0.13863351 1.00856002 -7.943115 57.786233
    Unten rechts KachelX + 1 31323 KachelY + 1 19812 -0.13853764 1.00856002 -7.937622 57.786233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00861113-1.00856002) × R
    5.11100000000209e-05 × 6371000     		dl = 325.621810000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00861113-1.00856002) × R
    5.11100000000209e-05 × 6371000     		dr = 325.621810000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13863351--0.13853764) × cos(1.00861113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533036347371356 × 6371000     		do = 325.572081939889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13863351--0.13853764) × cos(1.00856002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533079590454765 × 6371000     		du = 325.598494286372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00861113)-sin(1.00856002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533036347371356-0.533079590454765)×R²
    abs(-0.13853764--0.13863351)×4.32430834094166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32430834094166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32430834094166e-05×40589641000000     		ar = 106017.670848039m²