Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31321 / 17143
↖ ↑ ↗
← N 64.795187°
W  7.948609°		 ← 260.13 m → N 64.795187°
W  7.943115°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
N 64.792848°
W  7.948609°		 ← 260.16 m →
67 671 m²		 N 64.792848°
W  7.943115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477928161621094 y=0.261589050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477928161621094 × 216)
    floor (0.477928161621094 × 65536)
    floor (31321.5)     		tx = 31321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261589050292969 × 216)
    floor (0.261589050292969 × 65536)
    floor (17143.5)     		ty = 17143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31321 / 17143 ti = "16/31321/17143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31321/17143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31321 ÷ 216
    31321 ÷ 65536     		x = 0.477920532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17143 ÷ 216
    17143 ÷ 65536     		y = 0.261581420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477920532226562 × 2 - 1) × π
    -0.044158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13872939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261581420898438 × 2 - 1) × π
    0.476837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49802811312675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13872939} λ = -0.13872939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49802811312675))-π/2
    2×atan(4.4728603939266)-π/2
    2×1.35084284116994-π/2
    2.70168568233989-1.57079632675     		φ = 1.13088936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13872939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.948609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13088936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.795187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31321 KachelY 17143 -0.13872939 1.13088936 -7.948609 64.795187
    Oben rechts KachelX + 1 31322 KachelY 17143 -0.13863351 1.13088936 -7.943115 64.795187
    Unten links KachelX 31321 KachelY + 1 17144 -0.13872939 1.13084853 -7.948609 64.792848
    Unten rechts KachelX + 1 31322 KachelY + 1 17144 -0.13863351 1.13084853 -7.943115 64.792848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13088936-1.13084853) × R
    4.08300000001027e-05 × 6371000     		dl = 260.127930000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13088936-1.13084853) × R
    4.08300000001027e-05 × 6371000     		dr = 260.127930000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13872939--0.13863351) × cos(1.13088936) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.425855291275778 × 6371000     		do = 260.134334941695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13872939--0.13863351) × cos(1.13084853) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.425892233548999 × 6371000     		du = 260.156901183967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13088936)-sin(1.13084853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425855291275778-0.425892233548999)×R²
    abs(-0.13863351--0.13872939)×3.6942273220486e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.6942273220486e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.6942273220486e-05×40589641000000     		ar = 67671.1411347697m²