Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31320 / 13208
↖ ↑ ↗
← N 72.567668°
W  7.954101°		 ← 182.98 m → N 72.567668°
W  7.948609°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 72.566023°
W  7.954101°		 ← 183 m →
33 482 m²		 N 72.566023°
W  7.948609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477912902832031 y=0.201545715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477912902832031 × 216)
    floor (0.477912902832031 × 65536)
    floor (31320.5)     		tx = 31320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201545715332031 × 216)
    floor (0.201545715332031 × 65536)
    floor (13208.5)     		ty = 13208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31320 / 13208 ti = "16/31320/13208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31320/13208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31320 ÷ 216
    31320 ÷ 65536     		x = 0.4779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13208 ÷ 216
    13208 ÷ 65536     		y = 0.2015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2015380859375 × 2 - 1) × π
    0.596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8752915131366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13882526} λ = -0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8752915131366))-π/2
    2×atan(6.52272030186129)-π/2
    2×1.41867053557393-π/2
    2.83734107114786-1.57079632675     		φ = 1.26654474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26654474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.567668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31320 KachelY 13208 -0.13882526 1.26654474 -7.954101 72.567668
    Oben rechts KachelX + 1 31321 KachelY 13208 -0.13872939 1.26654474 -7.948609 72.567668
    Unten links KachelX 31320 KachelY + 1 13209 -0.13882526 1.26651602 -7.954101 72.566023
    Unten rechts KachelX + 1 31321 KachelY + 1 13209 -0.13872939 1.26651602 -7.948609 72.566023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26654474-1.26651602) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26654474-1.26651602) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13882526--0.13872939) × cos(1.26654474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299579219520503 × 6371000     		do = 182.979323429264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13882526--0.13872939) × cos(1.26651602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299606620328382 × 6371000     		du = 182.996059507605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26654474)-sin(1.26651602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299579219520503-0.299606620328382)×R²
    abs(-0.13872939--0.13882526)×2.74008078788301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74008078788301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74008078788301e-05×40589641000000     		ar = 33482.1948071264m²