Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31320 / 13160
↖ ↑ ↗
← N 72.646486°
W  7.954101°		 ← 182.18 m → N 72.646486°
W  7.948609°		 →
↑
182.21 m
↓
↑
182.21 m
↓
N 72.644847°
W  7.954101°		 ← 182.19 m →
33 196 m²		 N 72.644847°
W  7.948609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477912902832031 y=0.200813293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477912902832031 × 216)
    floor (0.477912902832031 × 65536)
    floor (31320.5)     		tx = 31320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200813293457031 × 216)
    floor (0.200813293457031 × 65536)
    floor (13160.5)     		ty = 13160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31320 / 13160 ti = "16/31320/13160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31320/13160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31320 ÷ 216
    31320 ÷ 65536     		x = 0.4779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13160 ÷ 216
    13160 ÷ 65536     		y = 0.2008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2008056640625 × 2 - 1) × π
    0.598388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87989345550012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13882526} λ = -0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87989345550012))-π/2
    2×atan(6.55280665948865)-π/2
    2×1.41935834744546-π/2
    2.83871669489091-1.57079632675     		φ = 1.26792037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26792037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.646486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31320 KachelY 13160 -0.13882526 1.26792037 -7.954101 72.646486
    Oben rechts KachelX + 1 31321 KachelY 13160 -0.13872939 1.26792037 -7.948609 72.646486
    Unten links KachelX 31320 KachelY + 1 13161 -0.13882526 1.26789177 -7.954101 72.644847
    Unten rechts KachelX + 1 31321 KachelY + 1 13161 -0.13872939 1.26789177 -7.948609 72.644847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26792037-1.26789177) × R
    2.85999999998232e-05 × 6371000     		dl = 182.210599998874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26792037-1.26789177) × R
    2.85999999998232e-05 × 6371000     		dr = 182.210599998874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13882526--0.13872939) × cos(1.26792037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298266487199349 × 6371000     		do = 182.17752258222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13882526--0.13872939) × cos(1.26789177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298293785280753 × 6371000     		du = 182.194195916486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26792037)-sin(1.26789177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298266487199349-0.298293785280753)×R²
    abs(-0.13872939--0.13882526)×2.7298081403504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.7298081403504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.7298081403504e-05×40589641000000     		ar = 33196.1947274228m²