Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31319 / 16841
↖ ↑ ↗
← N 65.492463°
W  7.959595°		 ← 253.39 m → N 65.492463°
W  7.954101°		 →
↑
253.37 m
↓
↑
253.37 m
↓
N 65.490184°
W  7.959595°		 ← 253.41 m →
64 205 m²		 N 65.490184°
W  7.954101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477897644042969 y=0.256980895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477897644042969 × 216)
    floor (0.477897644042969 × 65536)
    floor (31319.5)     		tx = 31319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256980895996094 × 216)
    floor (0.256980895996094 × 65536)
    floor (16841.5)     		ty = 16841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31319 / 16841 ti = "16/31319/16841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31319/16841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31319 ÷ 216
    31319 ÷ 65536     		x = 0.477890014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16841 ÷ 216
    16841 ÷ 65536     		y = 0.256973266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477890014648438 × 2 - 1) × π
    -0.044219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13892114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256973266601562 × 2 - 1) × π
    0.486053466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52698200049727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13892114} λ = -0.13892114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52698200049727))-π/2
    2×atan(4.60426017772286)-π/2
    2×1.35692771965634-π/2
    2.71385543931268-1.57079632675     		φ = 1.14305911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13892114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.959595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14305911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.492463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31319 KachelY 16841 -0.13892114 1.14305911 -7.959595 65.492463
    Oben rechts KachelX + 1 31320 KachelY 16841 -0.13882526 1.14305911 -7.954101 65.492463
    Unten links KachelX 31319 KachelY + 1 16842 -0.13892114 1.14301934 -7.959595 65.490184
    Unten rechts KachelX + 1 31320 KachelY + 1 16842 -0.13882526 1.14301934 -7.954101 65.490184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14305911-1.14301934) × R
    3.97700000001056e-05 × 6371000     		dl = 253.374670000672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14305911-1.14301934) × R
    3.97700000001056e-05 × 6371000     		dr = 253.374670000672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13892114--0.13882526) × cos(1.14305911) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.414812944524076 × 6371000     		do = 253.38910108567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13892114--0.13882526) × cos(1.14301934) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.414849131185881 × 6371000     		du = 253.41120576159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14305911)-sin(1.14301934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414812944524076-0.414849131185881)×R²
    abs(-0.13882526--0.13892114)×3.61866618055484e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.61866618055484e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.61866618055484e-05×40589641000000     		ar = 64205.180260312m²