Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31319 / 13158
↖ ↑ ↗
← N 72.649762°
W  7.959595°		 ← 182.16 m → N 72.649762°
W  7.954101°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 72.648124°
W  7.959595°		 ← 182.18 m →
33 182 m²		 N 72.648124°
W  7.954101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477897644042969 y=0.200782775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477897644042969 × 216)
    floor (0.477897644042969 × 65536)
    floor (31319.5)     		tx = 31319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200782775878906 × 216)
    floor (0.200782775878906 × 65536)
    floor (13158.5)     		ty = 13158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31319 / 13158 ti = "16/31319/13158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31319/13158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31319 ÷ 216
    31319 ÷ 65536     		x = 0.477890014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13158 ÷ 216
    13158 ÷ 65536     		y = 0.200775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477890014648438 × 2 - 1) × π
    -0.044219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13892114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200775146484375 × 2 - 1) × π
    0.59844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8800852030986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13892114} λ = -0.13892114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8800852030986))-π/2
    2×atan(6.5540632649006)-π/2
    2×1.41938694077028-π/2
    2.83877388154056-1.57079632675     		φ = 1.26797755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13892114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.959595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26797755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.649762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31319 KachelY 13158 -0.13892114 1.26797755 -7.959595 72.649762
    Oben rechts KachelX + 1 31320 KachelY 13158 -0.13882526 1.26797755 -7.954101 72.649762
    Unten links KachelX 31319 KachelY + 1 13159 -0.13892114 1.26794896 -7.959595 72.648124
    Unten rechts KachelX + 1 31320 KachelY + 1 13159 -0.13882526 1.26794896 -7.954101 72.648124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26797755-1.26794896) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26797755-1.26794896) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13892114--0.13882526) × cos(1.26797755) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.298211909394648 × 6371000     		do = 182.163186207332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13892114--0.13882526) × cos(1.26794896) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.298239198418887 × 6371000     		du = 182.179855748177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26797755)-sin(1.26794896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298211909394648-0.298239198418887)×R²
    abs(-0.13882526--0.13892114)×2.72890242391521e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.72890242391521e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.72890242391521e-05×40589641000000     		ar = 33181.9759947018m²