Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31318 / 38242
↖ ↑ ↗
← S 28.777289°
W  7.965088°		 ← 535.35 m → S 28.777289°
W  7.959595°		 →
↑
535.36 m
↓
↑
535.36 m
↓
S 28.782103°
W  7.965088°		 ← 535.33 m →
286 598 m²		 S 28.782103°
W  7.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477882385253906 y=0.583534240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477882385253906 × 216)
    floor (0.477882385253906 × 65536)
    floor (31318.5)     		tx = 31318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583534240722656 × 216)
    floor (0.583534240722656 × 65536)
    floor (38242.5)     		ty = 38242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31318 / 38242 ti = "16/31318/38242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31318/38242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31318 ÷ 216
    31318 ÷ 65536     		x = 0.477874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38242 ÷ 216
    38242 ÷ 65536     		y = 0.583526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.04425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13901701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.16705322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.524813177040375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13901701} λ = -0.13901701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524813177040375))-π/2
    2×atan(0.591665890814886)-π/2
    2×0.534268941631004-π/2
    1.06853788326201-1.57079632675     		φ = -0.50225844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13901701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.965088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50225844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.777289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31318 KachelY 38242 -0.13901701 -0.50225844 -7.965088 -28.777289
    Oben rechts KachelX + 1 31319 KachelY 38242 -0.13892114 -0.50225844 -7.959595 -28.777289
    Unten links KachelX 31318 KachelY + 1 38243 -0.13901701 -0.50234247 -7.965088 -28.782103
    Unten rechts KachelX + 1 31319 KachelY + 1 38243 -0.13892114 -0.50234247 -7.959595 -28.782103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50225844--0.50234247) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dl = 535.355130000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50225844--0.50234247) × R
    8.40300000000127e-05 × 6371000     		dr = 535.355130000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13901701--0.13892114) × cos(-0.50225844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876497570920949 × 6371000     		do = 535.353996753212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13901701--0.13892114) × cos(-0.50234247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876457115256644 × 6371000     		du = 535.329286928227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50225844)-sin(-0.50234247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876497570920949-0.876457115256644)×R²
    abs(-0.13892114--0.13901701)×4.04556643057719e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04556643057719e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04556643057719e-05×40589641000000     		ar = 286597.894430605m²