Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31318 / 19690
↖ ↑ ↗
← N 58.141720°
W  7.965088°		 ← 322.39 m → N 58.141720°
W  7.959595°		 →
↑
322.37 m
↓
↑
322.37 m
↓
N 58.138821°
W  7.965088°		 ← 322.41 m →
103 933 m²		 N 58.138821°
W  7.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477882385253906 y=0.300453186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477882385253906 × 216)
    floor (0.477882385253906 × 65536)
    floor (31318.5)     		tx = 31318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300453186035156 × 216)
    floor (0.300453186035156 × 65536)
    floor (19690.5)     		ty = 19690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31318 / 19690 ti = "16/31318/19690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31318/19690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31318 ÷ 216
    31318 ÷ 65536     		x = 0.477874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19690 ÷ 216
    19690 ÷ 65536     		y = 0.300445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.04425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13901701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300445556640625 × 2 - 1) × π
    0.39910888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25383754646219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13901701} λ = -0.13901701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25383754646219))-π/2
    2×atan(3.50376304436405)-π/2
    2×1.29278038910808-π/2
    2.58556077821616-1.57079632675     		φ = 1.01476445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13901701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.965088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01476445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.141720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31318 KachelY 19690 -0.13901701 1.01476445 -7.965088 58.141720
    Oben rechts KachelX + 1 31319 KachelY 19690 -0.13892114 1.01476445 -7.959595 58.141720
    Unten links KachelX 31318 KachelY + 1 19691 -0.13901701 1.01471385 -7.965088 58.138821
    Unten rechts KachelX + 1 31319 KachelY + 1 19691 -0.13892114 1.01471385 -7.959595 58.138821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01476445-1.01471385) × R
    5.06000000000117e-05 × 6371000     		dl = 322.372600000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01476445-1.01471385) × R
    5.06000000000117e-05 × 6371000     		dr = 322.372600000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13901701--0.13892114) × cos(1.01476445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527820012053346 × 6371000     		do = 322.386008123429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13901701--0.13892114) × cos(1.01471385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527862988803737 × 6371000     		du = 322.412257796963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01476445)-sin(1.01471385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527820012053346-0.527862988803737)×R²
    abs(-0.13892114--0.13901701)×4.29767503918876e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29767503918876e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29767503918876e-05×40589641000000     		ar = 103932.646752315m²