Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31318 / 17146
↖ ↑ ↗
← N 64.788168°
W  7.965088°		 ← 260.17 m → N 64.788168°
W  7.959595°		 →
↑
260.19 m
↓
↑
260.19 m
↓
N 64.785828°
W  7.965088°		 ← 260.20 m →
67 698 m²		 N 64.785828°
W  7.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477882385253906 y=0.261634826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477882385253906 × 216)
    floor (0.477882385253906 × 65536)
    floor (31318.5)     		tx = 31318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261634826660156 × 216)
    floor (0.261634826660156 × 65536)
    floor (17146.5)     		ty = 17146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31318 / 17146 ti = "16/31318/17146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31318/17146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31318 ÷ 216
    31318 ÷ 65536     		x = 0.477874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17146 ÷ 216
    17146 ÷ 65536     		y = 0.261627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.04425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13901701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261627197265625 × 2 - 1) × π
    0.47674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49774049172903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13901701} λ = -0.13901701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49774049172903))-π/2
    2×atan(4.47157408856163)-π/2
    2×1.35078159065298-π/2
    2.70156318130595-1.57079632675     		φ = 1.13076685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13901701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.965088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13076685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.788168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31318 KachelY 17146 -0.13901701 1.13076685 -7.965088 64.788168
    Oben rechts KachelX + 1 31319 KachelY 17146 -0.13892114 1.13076685 -7.959595 64.788168
    Unten links KachelX 31318 KachelY + 1 17147 -0.13901701 1.13072601 -7.965088 64.785828
    Unten rechts KachelX + 1 31319 KachelY + 1 17147 -0.13892114 1.13072601 -7.959595 64.785828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13076685-1.13072601) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dl = 260.191640000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13076685-1.13072601) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dr = 260.191640000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13901701--0.13892114) × cos(1.13076685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425966134060159 × 6371000     		do = 260.17490511812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13901701--0.13892114) × cos(1.13072601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426003083250064 × 6371000     		du = 260.197473231425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13076685)-sin(1.13072601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425966134060159-0.426003083250064)×R²
    abs(-0.13892114--0.13901701)×3.69491899042673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69491899042673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69491899042673e-05×40589641000000     		ar = 67698.2712762172m²