Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31317 / 19707
↖ ↑ ↗
← N 58.092397°
W  7.970581°		 ← 322.83 m → N 58.092397°
W  7.965088°		 →
↑
322.88 m
↓
↑
322.88 m
↓
N 58.089493°
W  7.970581°		 ← 322.86 m →
104 241 m²		 N 58.089493°
W  7.965088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477867126464844 y=0.300712585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477867126464844 × 216)
    floor (0.477867126464844 × 65536)
    floor (31317.5)     		tx = 31317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300712585449219 × 216)
    floor (0.300712585449219 × 65536)
    floor (19707.5)     		ty = 19707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31317 / 19707 ti = "16/31317/19707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31317/19707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31317 ÷ 216
    31317 ÷ 65536     		x = 0.477859497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19707 ÷ 216
    19707 ÷ 65536     		y = 0.300704956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477859497070312 × 2 - 1) × π
    -0.044281005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13911288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300704956054688 × 2 - 1) × π
    0.398590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25220769187511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13911288} λ = -0.13911288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25220769187511))-π/2
    2×atan(3.49805707131045)-π/2
    2×1.29234995636714-π/2
    2.58469991273428-1.57079632675     		φ = 1.01390359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13911288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.970581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01390359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.092397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31317 KachelY 19707 -0.13911288 1.01390359 -7.970581 58.092397
    Oben rechts KachelX + 1 31318 KachelY 19707 -0.13901701 1.01390359 -7.965088 58.092397
    Unten links KachelX 31317 KachelY + 1 19708 -0.13911288 1.01385291 -7.970581 58.089493
    Unten rechts KachelX + 1 31318 KachelY + 1 19708 -0.13901701 1.01385291 -7.965088 58.089493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01390359-1.01385291) × R
    5.06799999999696e-05 × 6371000     		dl = 322.882279999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01390359-1.01385291) × R
    5.06799999999696e-05 × 6371000     		dr = 322.882279999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13911288--0.13901701) × cos(1.01390359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528550993203711 × 6371000     		do = 322.832482470173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13911288--0.13901701) × cos(1.01385291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528594014855644 × 6371000     		du = 322.858759569019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01390359)-sin(1.01385291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528550993203711-0.528594014855644)×R²
    abs(-0.13901701--0.13911288)×4.30216519327065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30216519327065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30216519327065e-05×40589641000000     		ar = 104241.130225112m²