Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31316 / 16828
↖ ↑ ↗
← N 65.522069°
W  7.976074°		 ← 253.10 m → N 65.522069°
W  7.970581°		 →
↑
253.12 m
↓
↑
253.12 m
↓
N 65.519792°
W  7.976074°		 ← 253.12 m →
64 068 m²		 N 65.519792°
W  7.970581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477851867675781 y=0.256782531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477851867675781 × 216)
    floor (0.477851867675781 × 65536)
    floor (31316.5)     		tx = 31316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256782531738281 × 216)
    floor (0.256782531738281 × 65536)
    floor (16828.5)     		ty = 16828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31316 / 16828 ti = "16/31316/16828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31316/16828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31316 ÷ 216
    31316 ÷ 65536     		x = 0.47784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16828 ÷ 216
    16828 ÷ 65536     		y = 0.25677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.0443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13920876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25677490234375 × 2 - 1) × π
    0.4864501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52822835988739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13920876} λ = -0.13920876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52822835988739))-π/2
    2×atan(4.610002318272)-π/2
    2×1.35718607612273-π/2
    2.71437215224546-1.57079632675     		φ = 1.14357583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13920876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14357583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.522069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31316 KachelY 16828 -0.13920876 1.14357583 -7.976074 65.522069
    Oben rechts KachelX + 1 31317 KachelY 16828 -0.13911288 1.14357583 -7.970581 65.522069
    Unten links KachelX 31316 KachelY + 1 16829 -0.13920876 1.14353610 -7.976074 65.519792
    Unten rechts KachelX + 1 31317 KachelY + 1 16829 -0.13911288 1.14353610 -7.970581 65.519792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14357583-1.14353610) × R
    3.97300000001266e-05 × 6371000     		dl = 253.119830000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14357583-1.14353610) × R
    3.97300000001266e-05 × 6371000     		dr = 253.119830000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13920876--0.13911288) × cos(1.14357583) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.414342722172328 × 6371000     		do = 253.101865066176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13920876--0.13911288) × cos(1.14353610) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.414378880949883 × 6371000     		du = 253.123952708961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14357583)-sin(1.14353610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414342722172328-0.414378880949883)×R²
    abs(-0.13911288--0.13920876)×3.61587775548067e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.61587775548067e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.61587775548067e-05×40589641000000     		ar = 64067.8964771594m²