Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31315 / 15853
↖ ↑ ↗
← N 67.648944°
W  7.981567°		 ← 232.27 m → N 67.648944°
W  7.976074°		 →
↑
232.29 m
↓
↑
232.29 m
↓
N 67.646855°
W  7.981567°		 ← 232.29 m →
53 956 m²		 N 67.646855°
W  7.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477836608886719 y=0.241905212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477836608886719 × 216)
    floor (0.477836608886719 × 65536)
    floor (31315.5)     		tx = 31315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241905212402344 × 216)
    floor (0.241905212402344 × 65536)
    floor (15853.5)     		ty = 15853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31315 / 15853 ti = "16/31315/15853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31315/15853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31315 ÷ 216
    31315 ÷ 65536     		x = 0.477828979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15853 ÷ 216
    15853 ÷ 65536     		y = 0.241897583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477828979492188 × 2 - 1) × π
    -0.044342041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13930463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241897583007812 × 2 - 1) × π
    0.516204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.6217053141465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13930463} λ = -0.13930463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6217053141465))-π/2
    2×atan(5.06171477457931)-π/2
    2×1.37574656727903-π/2
    2.75149313455805-1.57079632675     		φ = 1.18069681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13930463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.981567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18069681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.648944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31315 KachelY 15853 -0.13930463 1.18069681 -7.981567 67.648944
    Oben rechts KachelX + 1 31316 KachelY 15853 -0.13920876 1.18069681 -7.976074 67.648944
    Unten links KachelX 31315 KachelY + 1 15854 -0.13930463 1.18066035 -7.981567 67.646855
    Unten rechts KachelX + 1 31316 KachelY + 1 15854 -0.13920876 1.18066035 -7.976074 67.646855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18069681-1.18066035) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dl = 232.286660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18069681-1.18066035) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dr = 232.286660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13930463--0.13920876) × cos(1.18069681) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.380280457225602 × 6371000     		do = 232.270652443468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13930463--0.13920876) × cos(1.18066035) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.380314177777521 × 6371000     		du = 232.291248544178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18069681)-sin(1.18066035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380280457225602-0.380314177777521)×R²
    abs(-0.13920876--0.13930463)×3.3720551919636e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.3720551919636e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.3720551919636e-05×40589641000000     		ar = 53955.7661779352m²