Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31314 / 19782
↖ ↑ ↗
← N 57.873975°
W  7.987060°		 ← 324.81 m → N 57.873975°
W  7.981567°		 →
↑
324.86 m
↓
↑
324.86 m
↓
N 57.871053°
W  7.987060°		 ← 324.83 m →
105 520 m²		 N 57.871053°
W  7.981567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477821350097656 y=0.301856994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477821350097656 × 216)
    floor (0.477821350097656 × 65536)
    floor (31314.5)     		tx = 31314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301856994628906 × 216)
    floor (0.301856994628906 × 65536)
    floor (19782.5)     		ty = 19782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31314 / 19782 ti = "16/31314/19782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31314/19782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31314 ÷ 216
    31314 ÷ 65536     		x = 0.477813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19782 ÷ 216
    19782 ÷ 65536     		y = 0.301849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.04437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13940050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301849365234375 × 2 - 1) × π
    0.39630126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2450171569321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13940050} λ = -0.13940050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2450171569321))-π/2
    2×atan(3.47299438475451)-π/2
    2×1.29044386723822-π/2
    2.58088773447644-1.57079632675     		φ = 1.01009141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13940050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.987060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01009141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.873975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31314 KachelY 19782 -0.13940050 1.01009141 -7.987060 57.873975
    Oben rechts KachelX + 1 31315 KachelY 19782 -0.13930463 1.01009141 -7.981567 57.873975
    Unten links KachelX 31314 KachelY + 1 19783 -0.13940050 1.01004042 -7.987060 57.871053
    Unten rechts KachelX + 1 31315 KachelY + 1 19783 -0.13930463 1.01004042 -7.981567 57.871053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01009141-1.01004042) × R
    5.0990000000084e-05 × 6371000     		dl = 324.857290000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01009141-1.01004042) × R
    5.0990000000084e-05 × 6371000     		dr = 324.857290000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13940050--0.13930463) × cos(1.01009141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531783310253489 × 6371000     		do = 324.80674219294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13940050--0.13930463) × cos(1.01004042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531826491996735 × 6371000     		du = 324.833117073601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01009141)-sin(1.01004042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531783310253489-0.531826491996735)×R²
    abs(-0.13930463--0.13940050)×4.31817432455794e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31817432455794e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31817432455794e-05×40589641000000     		ar = 105520.122101519m²