Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31314 / 19716
↖ ↑ ↗
← N 58.066256°
W  7.987060°		 ← 323.07 m → N 58.066256°
W  7.981567°		 →
↑
323.07 m
↓
↑
323.07 m
↓
N 58.063350°
W  7.987060°		 ← 323.10 m →
104 379 m²		 N 58.063350°
W  7.981567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477821350097656 y=0.300849914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477821350097656 × 216)
    floor (0.477821350097656 × 65536)
    floor (31314.5)     		tx = 31314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300849914550781 × 216)
    floor (0.300849914550781 × 65536)
    floor (19716.5)     		ty = 19716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31314 / 19716 ti = "16/31314/19716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31314/19716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31314 ÷ 216
    31314 ÷ 65536     		x = 0.477813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19716 ÷ 216
    19716 ÷ 65536     		y = 0.30084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.04437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13940050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30084228515625 × 2 - 1) × π
    0.3983154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25134482768195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13940050} λ = -0.13940050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25134482768195))-π/2
    2×atan(3.4950400249558)-π/2
    2×1.29212183897413-π/2
    2.58424367794826-1.57079632675     		φ = 1.01344735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13940050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.987060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01344735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.066256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31314 KachelY 19716 -0.13940050 1.01344735 -7.987060 58.066256
    Oben rechts KachelX + 1 31315 KachelY 19716 -0.13930463 1.01344735 -7.981567 58.066256
    Unten links KachelX 31314 KachelY + 1 19717 -0.13940050 1.01339664 -7.987060 58.063350
    Unten rechts KachelX + 1 31315 KachelY + 1 19717 -0.13930463 1.01339664 -7.981567 58.063350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01344735-1.01339664) × R
    5.07100000000094e-05 × 6371000     		dl = 323.07341000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01344735-1.01339664) × R
    5.07100000000094e-05 × 6371000     		dr = 323.07341000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13940050--0.13930463) × cos(1.01344735) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528938241024808 × 6371000     		do = 323.069008703258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13940050--0.13930463) × cos(1.01339664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528981275909487 × 6371000     		du = 323.095293884503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01344735)-sin(1.01339664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528938241024808-0.528981275909487)×R²
    abs(-0.13930463--0.13940050)×4.30348846787165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30348846787165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30348846787165e-05×40589641000000     		ar = 104379.252350829m²