Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31314 / 15106
↖ ↑ ↗
← N 69.158650°
W  7.987060°		 ← 217.31 m → N 69.158650°
W  7.981567°		 →
↑
217.31 m
↓
↑
217.31 m
↓
N 69.156695°
W  7.987060°		 ← 217.33 m →
47 226 m²		 N 69.156695°
W  7.981567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477821350097656 y=0.230506896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477821350097656 × 216)
    floor (0.477821350097656 × 65536)
    floor (31314.5)     		tx = 31314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230506896972656 × 216)
    floor (0.230506896972656 × 65536)
    floor (15106.5)     		ty = 15106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31314 / 15106 ti = "16/31314/15106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31314/15106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31314 ÷ 216
    31314 ÷ 65536     		x = 0.477813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15106 ÷ 216
    15106 ÷ 65536     		y = 0.230499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.04437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13940050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230499267578125 × 2 - 1) × π
    0.53900146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69332304217886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13940050} λ = -0.13940050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69332304217886))-π/2
    2×atan(5.43751982387822)-π/2
    2×1.38892123361632-π/2
    2.77784246723263-1.57079632675     		φ = 1.20704614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13940050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.987060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20704614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.158650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31314 KachelY 15106 -0.13940050 1.20704614 -7.987060 69.158650
    Oben rechts KachelX + 1 31315 KachelY 15106 -0.13930463 1.20704614 -7.981567 69.158650
    Unten links KachelX 31314 KachelY + 1 15107 -0.13940050 1.20701203 -7.987060 69.156695
    Unten rechts KachelX + 1 31315 KachelY + 1 15107 -0.13930463 1.20701203 -7.981567 69.156695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20704614-1.20701203) × R
    3.41100000000871e-05 × 6371000     		dl = 217.314810000555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20704614-1.20701203) × R
    3.41100000000871e-05 × 6371000     		dr = 217.314810000555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13940050--0.13930463) × cos(1.20704614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355781535785686 × 6371000     		do = 217.30701084971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13940050--0.13930463) × cos(1.20701203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355813413732461 × 6371000     		du = 217.326481509732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20704614)-sin(1.20701203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355781535785686-0.355813413732461)×R²
    abs(-0.13930463--0.13940050)×3.18779467745056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18779467745056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18779467745056e-05×40589641000000     		ar = 47226.1474105915m²