Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31313 / 39456
↖ ↑ ↗
← S 34.452219°
W  7.992554°		 ← 503.71 m → S 34.452219°
W  7.987060°		 →
↑
503.63 m
↓
↑
503.63 m
↓
S 34.456748°
W  7.992554°		 ← 503.68 m →
253 674 m²		 S 34.456748°
W  7.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477806091308594 y=0.602058410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477806091308594 × 216)
    floor (0.477806091308594 × 65536)
    floor (31313.5)     		tx = 31313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602058410644531 × 216)
    floor (0.602058410644531 × 65536)
    floor (39456.5)     		ty = 39456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31313 / 39456 ti = "16/31313/39456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31313/39456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31313 ÷ 216
    31313 ÷ 65536     		x = 0.477798461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39456 ÷ 216
    39456 ÷ 65536     		y = 0.60205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477798461914062 × 2 - 1) × π
    -0.044403076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13949638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60205078125 × 2 - 1) × π
    -0.2041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.641203969317871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13949638} λ = -0.13949638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641203969317871))-π/2
    2×atan(0.526657962155918)-π/2
    2×0.484745839921387-π/2
    0.969491679842773-1.57079632675     		φ = -0.60130465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13949638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.992554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60130465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.452219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31313 KachelY 39456 -0.13949638 -0.60130465 -7.992554 -34.452219
    Oben rechts KachelX + 1 31314 KachelY 39456 -0.13940050 -0.60130465 -7.987060 -34.452219
    Unten links KachelX 31313 KachelY + 1 39457 -0.13949638 -0.60138370 -7.992554 -34.456748
    Unten rechts KachelX + 1 31314 KachelY + 1 39457 -0.13940050 -0.60138370 -7.987060 -34.456748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60130465--0.60138370) × R
    7.90499999999694e-05 × 6371000     		dl = 503.627549999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60130465--0.60138370) × R
    7.90499999999694e-05 × 6371000     		dr = 503.627549999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13949638--0.13940050) × cos(-0.60130465) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.824598251909172 × 6371000     		do = 503.707062584092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13949638--0.13940050) × cos(-0.60138370) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.824553529264297 × 6371000     		du = 503.67974369028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60130465)-sin(-0.60138370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824598251909172-0.824553529264297)×R²
    abs(-0.13940050--0.13949638)×4.47226448746507e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47226448746507e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47226448746507e-05×40589641000000     		ar = 253673.87470544m²