Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31312 / 15759
↖ ↑ ↗
← N 67.844488°
W  7.998047°		 ← 230.34 m → N 67.844488°
W  7.992554°		 →
↑
230.38 m
↓
↑
230.38 m
↓
N 67.842416°
W  7.998047°		 ← 230.36 m →
53 067 m²		 N 67.842416°
W  7.992554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477790832519531 y=0.240470886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477790832519531 × 216)
    floor (0.477790832519531 × 65536)
    floor (31312.5)     		tx = 31312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240470886230469 × 216)
    floor (0.240470886230469 × 65536)
    floor (15759.5)     		ty = 15759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31312 / 15759 ti = "16/31312/15759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31312/15759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31312 ÷ 216
    31312 ÷ 65536     		x = 0.477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15759 ÷ 216
    15759 ÷ 65536     		y = 0.240463256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.04443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13959225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240463256835938 × 2 - 1) × π
    0.519073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63071745127507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13959225} λ = -0.13959225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63071745127507))-π/2
    2×atan(5.10753781385041)-π/2
    2×1.37745301222357-π/2
    2.75490602444714-1.57079632675     		φ = 1.18410970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13959225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18410970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.844488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31312 KachelY 15759 -0.13959225 1.18410970 -7.998047 67.844488
    Oben rechts KachelX + 1 31313 KachelY 15759 -0.13949638 1.18410970 -7.992554 67.844488
    Unten links KachelX 31312 KachelY + 1 15760 -0.13959225 1.18407354 -7.998047 67.842416
    Unten rechts KachelX + 1 31313 KachelY + 1 15760 -0.13949638 1.18407354 -7.992554 67.842416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18410970-1.18407354) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dl = 230.3753600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18410970-1.18407354) × R
    3.61600000000628e-05 × 6371000     		dr = 230.3753600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13959225--0.13949638) × cos(1.18410970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377121764898113 × 6371000     		do = 230.341361800578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13959225--0.13949638) × cos(1.18407354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377155254730462 × 6371000     		du = 230.361816980596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18410970)-sin(1.18407354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377121764898113-0.377155254730462)×R²
    abs(-0.13949638--0.13959225)×3.34898323495203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34898323495203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34898323495203e-05×40589641000000     		ar = 53067.3303380765m²