Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31311 / 15118
↖ ↑ ↗
← N 69.135185°
W  8.003540°		 ← 217.56 m → N 69.135185°
W  7.998047°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
N 69.133228°
W  8.003540°		 ← 217.58 m →
47 337 m²		 N 69.133228°
W  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477775573730469 y=0.230690002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477775573730469 × 216)
    floor (0.477775573730469 × 65536)
    floor (31311.5)     		tx = 31311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230690002441406 × 216)
    floor (0.230690002441406 × 65536)
    floor (15118.5)     		ty = 15118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31311 / 15118 ti = "16/31311/15118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31311/15118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31311 ÷ 216
    31311 ÷ 65536     		x = 0.477767944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15118 ÷ 216
    15118 ÷ 65536     		y = 0.230682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477767944335938 × 2 - 1) × π
    -0.044464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13968813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230682373046875 × 2 - 1) × π
    0.53863525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69217255658798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13968813} λ = -0.13968813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69217255658798))-π/2
    2×atan(5.43126763288816)-π/2
    2×1.38871646279114-π/2
    2.77743292558227-1.57079632675     		φ = 1.20663660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13968813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.003540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20663660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.135185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31311 KachelY 15118 -0.13968813 1.20663660 -8.003540 69.135185
    Oben rechts KachelX + 1 31312 KachelY 15118 -0.13959225 1.20663660 -7.998047 69.135185
    Unten links KachelX 31311 KachelY + 1 15119 -0.13968813 1.20660245 -8.003540 69.133228
    Unten rechts KachelX + 1 31312 KachelY + 1 15119 -0.13959225 1.20660245 -7.998047 69.133228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20663660-1.20660245) × R
    3.4149999999844e-05 × 6371000     		dl = 217.569649999006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20663660-1.20660245) × R
    3.4149999999844e-05 × 6371000     		dr = 217.569649999006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13968813--0.13959225) × cos(1.20663660) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356164249388887 × 6371000     		do = 217.563458862274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13968813--0.13959225) × cos(1.20660245) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356196159739156 × 6371000     		du = 217.582951346963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20663660)-sin(1.20660245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356164249388887-0.356196159739156)×R²
    abs(-0.13959225--0.13968813)×3.19103502688933e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.19103502688933e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.19103502688933e-05×40589641000000     		ar = 47337.3260885475m²