Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31311 / 15115
↖ ↑ ↗
← N 69.141053°
W  8.003540°		 ← 217.50 m → N 69.141053°
W  7.998047°		 →
↑
217.51 m
↓
↑
217.51 m
↓
N 69.139097°
W  8.003540°		 ← 217.52 m →
47 311 m²		 N 69.139097°
W  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477775573730469 y=0.230644226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477775573730469 × 216)
    floor (0.477775573730469 × 65536)
    floor (31311.5)     		tx = 31311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230644226074219 × 216)
    floor (0.230644226074219 × 65536)
    floor (15115.5)     		ty = 15115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31311 / 15115 ti = "16/31311/15115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31311/15115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31311 ÷ 216
    31311 ÷ 65536     		x = 0.477767944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15115 ÷ 216
    15115 ÷ 65536     		y = 0.230636596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477767944335938 × 2 - 1) × π
    -0.044464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13968813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230636596679688 × 2 - 1) × π
    0.538726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6924601779857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13968813} λ = -0.13968813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6924601779857))-π/2
    2×atan(5.43283000635138)-π/2
    2×1.38876767613846-π/2
    2.77753535227692-1.57079632675     		φ = 1.20673903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13968813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.003540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20673903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.141053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31311 KachelY 15115 -0.13968813 1.20673903 -8.003540 69.141053
    Oben rechts KachelX + 1 31312 KachelY 15115 -0.13959225 1.20673903 -7.998047 69.141053
    Unten links KachelX 31311 KachelY + 1 15116 -0.13968813 1.20670489 -8.003540 69.139097
    Unten rechts KachelX + 1 31312 KachelY + 1 15116 -0.13959225 1.20670489 -7.998047 69.139097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20673903-1.20670489) × R
    3.41400000001268e-05 × 6371000     		dl = 217.505940000808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20673903-1.20670489) × R
    3.41400000001268e-05 × 6371000     		dr = 217.505940000808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13968813--0.13959225) × cos(1.20673903) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356068534535225 × 6371000     		do = 217.504991302257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13968813--0.13959225) × cos(1.20670489) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356100436786763 × 6371000     		du = 217.524478839824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20673903)-sin(1.20670489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356068534535225-0.356100436786763)×R²
    abs(-0.13959225--0.13968813)×3.19022515377076e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.19022515377076e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.19022515377076e-05×40589641000000     		ar = 47310.746919997m²