Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31310 / 16815
↖ ↑ ↗
← N 65.551640°
W  8.009033°		 ← 252.79 m → N 65.551640°
W  8.003540°		 →
↑
252.80 m
↓
↑
252.80 m
↓
N 65.549367°
W  8.009033°		 ← 252.81 m →
63 908 m²		 N 65.549367°
W  8.003540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477760314941406 y=0.256584167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477760314941406 × 216)
    floor (0.477760314941406 × 65536)
    floor (31310.5)     		tx = 31310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256584167480469 × 216)
    floor (0.256584167480469 × 65536)
    floor (16815.5)     		ty = 16815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31310 / 16815 ti = "16/31310/16815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31310/16815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31310 ÷ 216
    31310 ÷ 65536     		x = 0.477752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16815 ÷ 216
    16815 ÷ 65536     		y = 0.256576538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.04449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13978400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256576538085938 × 2 - 1) × π
    0.486846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52947471927751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13978400} λ = -0.13978400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52947471927751))-π/2
    2×atan(4.61575162005374)-π/2
    2×1.3574441396918-π/2
    2.7148882793836-1.57079632675     		φ = 1.14409195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13978400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14409195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.551640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31310 KachelY 16815 -0.13978400 1.14409195 -8.009033 65.551640
    Oben rechts KachelX + 1 31311 KachelY 16815 -0.13968813 1.14409195 -8.003540 65.551640
    Unten links KachelX 31310 KachelY + 1 16816 -0.13978400 1.14405227 -8.009033 65.549367
    Unten rechts KachelX + 1 31311 KachelY + 1 16816 -0.13968813 1.14405227 -8.003540 65.549367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14409195-1.14405227) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dl = 252.801279999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14409195-1.14405227) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dr = 252.801279999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13978400--0.13968813) × cos(1.14409195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41387293539213 × 6371000     		do = 252.788527271508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13978400--0.13968813) × cos(1.14405227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413909057145611 × 6371000     		du = 252.810589996765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14409195)-sin(1.14405227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41387293539213-0.413909057145611)×R²
    abs(-0.13968813--0.13978400)×3.61217534806668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61217534806668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61217534806668e-05×40589641000000     		ar = 63908.0520143206m²