Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31310 / 16813
↖ ↑ ↗
← N 65.556187°
W  8.009033°		 ← 252.74 m → N 65.556187°
W  8.003540°		 →
↑
252.74 m
↓
↑
252.74 m
↓
N 65.553914°
W  8.009033°		 ← 252.77 m →
63 881 m²		 N 65.553914°
W  8.003540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477760314941406 y=0.256553649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477760314941406 × 216)
    floor (0.477760314941406 × 65536)
    floor (31310.5)     		tx = 31310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256553649902344 × 216)
    floor (0.256553649902344 × 65536)
    floor (16813.5)     		ty = 16813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31310 / 16813 ti = "16/31310/16813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31310/16813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31310 ÷ 216
    31310 ÷ 65536     		x = 0.477752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16813 ÷ 216
    16813 ÷ 65536     		y = 0.256546020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.04449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13978400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256546020507812 × 2 - 1) × π
    0.486907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52966646687599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13978400} λ = -0.13978400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52966646687599))-π/2
    2×atan(4.61663676420149)-π/2
    2×1.35748381579933-π/2
    2.71496763159866-1.57079632675     		φ = 1.14417130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13978400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14417130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.556187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31310 KachelY 16813 -0.13978400 1.14417130 -8.009033 65.556187
    Oben rechts KachelX + 1 31311 KachelY 16813 -0.13968813 1.14417130 -8.003540 65.556187
    Unten links KachelX 31310 KachelY + 1 16814 -0.13978400 1.14413163 -8.009033 65.553914
    Unten rechts KachelX + 1 31311 KachelY + 1 16814 -0.13968813 1.14413163 -8.003540 65.553914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14417130-1.14413163) × R
    3.96700000000472e-05 × 6371000     		dl = 252.737570000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14417130-1.14413163) × R
    3.96700000000472e-05 × 6371000     		dr = 252.737570000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13978400--0.13968813) × cos(1.14417130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413800699033969 × 6371000     		do = 252.744406187394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13978400--0.13968813) × cos(1.14413163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413836812987006 × 6371000     		du = 252.766464148235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14417130)-sin(1.14413163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413800699033969-0.413836812987006)×R²
    abs(-0.13968813--0.13978400)×3.61139530367094e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61139530367094e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61139530367094e-05×40589641000000     		ar = 63880.7944970401m²