Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31310 / 15758
↖ ↑ ↗
← N 67.846560°
W  8.009033°		 ← 230.32 m → N 67.846560°
W  8.003540°		 →
↑
230.31 m
↓
↑
230.31 m
↓
N 67.844488°
W  8.009033°		 ← 230.34 m →
53 048 m²		 N 67.844488°
W  8.003540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477760314941406 y=0.240455627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477760314941406 × 216)
    floor (0.477760314941406 × 65536)
    floor (31310.5)     		tx = 31310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240455627441406 × 216)
    floor (0.240455627441406 × 65536)
    floor (15758.5)     		ty = 15758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31310 / 15758 ti = "16/31310/15758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31310/15758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31310 ÷ 216
    31310 ÷ 65536     		x = 0.477752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15758 ÷ 216
    15758 ÷ 65536     		y = 0.240447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.04449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13978400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240447998046875 × 2 - 1) × π
    0.51910400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.63081332507431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13978400} λ = -0.13978400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63081332507431))-π/2
    2×atan(5.10802751637984)-π/2
    2×1.37747108946927-π/2
    2.75494217893853-1.57079632675     		φ = 1.18414585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13978400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18414585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.846560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31310 KachelY 15758 -0.13978400 1.18414585 -8.009033 67.846560
    Oben rechts KachelX + 1 31311 KachelY 15758 -0.13968813 1.18414585 -8.003540 67.846560
    Unten links KachelX 31310 KachelY + 1 15759 -0.13978400 1.18410970 -8.009033 67.844488
    Unten rechts KachelX + 1 31311 KachelY + 1 15759 -0.13968813 1.18410970 -8.003540 67.844488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18414585-1.18410970) × R
    3.61499999999015e-05 × 6371000     		dl = 230.311649999373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18414585-1.18410970) × R
    3.61499999999015e-05 × 6371000     		dr = 230.311649999373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13978400--0.13968813) × cos(1.18414585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377088283834433 × 6371000     		do = 230.320911976355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13978400--0.13968813) × cos(1.18410970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377121764898113 × 6371000     		du = 230.341361800578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18414585)-sin(1.18410970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377088283834433-0.377121764898113)×R²
    abs(-0.13968813--0.13978400)×3.34810636800631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34810636800631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34810636800631e-05×40589641000000     		ar = 53047.9441889132m²