Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3131 / 3635
↖ ↑ ↗
← N 19.849394°
W 42.407227°		 ← 4 596.18 m → N 19.849394°
W 42.363281°		 →
↑
4 596.80 m
↓
↑
4 596.80 m
↓
N 19.808054°
W 42.407227°		 ← 4 597.37 m →
21 130 483 m²		 N 19.808054°
W 42.363281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38226318359375 y=0.44378662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38226318359375 × 213)
    floor (0.38226318359375 × 8192)
    floor (3131.5)     		tx = 3131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44378662109375 × 213)
    floor (0.44378662109375 × 8192)
    floor (3635.5)     		ty = 3635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3131 / 3635 ti = "13/3131/3635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3131/3635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3131 ÷ 213
    3131 ÷ 8192     		x = 0.3822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3635 ÷ 213
    3635 ÷ 8192     		y = 0.4437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74014573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    0.112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.353582571597534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74014573} λ = -0.74014573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353582571597534))-π/2
    2×atan(1.4241605773105)-π/2
    2×0.958616802942669-π/2
    1.91723360588534-1.57079632675     		φ = 0.34643728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74014573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.407227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34643728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.849394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3131 KachelY 3635 -0.74014573 0.34643728 -42.407227 19.849394
    Oben rechts KachelX + 1 3132 KachelY 3635 -0.73937874 0.34643728 -42.363281 19.849394
    Unten links KachelX 3131 KachelY + 1 3636 -0.74014573 0.34571576 -42.407227 19.808054
    Unten rechts KachelX + 1 3132 KachelY + 1 3636 -0.73937874 0.34571576 -42.363281 19.808054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34643728-0.34571576) × R
    0.000721520000000031 × 6371000     		dl = 4596.8039200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34643728-0.34571576) × R
    0.000721520000000031 × 6371000     		dr = 4596.8039200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74014573--0.73937874) × cos(0.34643728) × R
    0.000766989999999912 × 0.940588397429256 × 6371000     		do = 4596.17889268938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74014573--0.73937874) × cos(0.34571576) × R
    0.000766989999999912 × 0.940833143911184 × 6371000     		du = 4597.37484473108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34643728)-sin(0.34571576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940588397429256-0.940833143911184)×R²
    abs(-0.73937874--0.74014573)×0.000244746481928293×R²
    0.000766989999999912×0.000244746481928293×6371000²
    0.000766989999999912×0.000244746481928293×40589641000000     		ar = 21130482.8461495m²