Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3131 / 3184
↖ ↑ ↗
← S 70.140365°
E 95.185547°		 ← 3 320.05 m → S 70.140365°
E 95.273437°		 →
↑
3 317.63 m
↓
↑
3 317.63 m
↓
S 70.170201°
E 95.185547°		 ← 3 315.26 m →
11 006 772 m²		 S 70.170201°
E 95.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7645263671875 y=0.7774658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7645263671875 × 212)
    floor (0.7645263671875 × 4096)
    floor (3131.5)     		tx = 3131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7774658203125 × 212)
    floor (0.7774658203125 × 4096)
    floor (3184.5)     		ty = 3184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3131 / 3184 ti = "12/3131/3184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3131/3184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3131 ÷ 212
    3131 ÷ 4096     		x = 0.764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3184 ÷ 212
    3184 ÷ 4096     		y = 0.77734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764404296875 × 2 - 1) × π
    0.52880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66130119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77734375 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66130119} λ = 1.66130119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74260217498828))-π/2
    2×atan(0.175064259557396)-π/2
    2×0.173308015857985-π/2
    0.34661603171597-1.57079632675     		φ = -1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66130119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3131 KachelY 3184 1.66130119 -1.22418030 95.185547 -70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 3132 KachelY 3184 1.66283517 -1.22418030 95.273437 -70.140365
    Unten links KachelX 3131 KachelY + 1 3185 1.66130119 -1.22470104 95.185547 -70.170201
    Unten rechts KachelX + 1 3132 KachelY + 1 3185 1.66283517 -1.22470104 95.273437 -70.170201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22418030--1.22470104) × R
    0.00052074000000002 × 6371000     		dl = 3317.63454000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22418030--1.22470104) × R
    0.00052074000000002 × 6371000     		dr = 3317.63454000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66130119-1.66283517) × cos(-1.22418030) × R
    0.00153397999999982 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 3320.05005460103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66130119-1.66283517) × cos(-1.22470104) × R
    0.00153397999999982 × 0.339227221698606 × 6371000     		du = 3315.26308523078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22418030)-sin(-1.22470104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.339227221698606)×R²
    abs(1.66283517-1.66130119)×0.000489816427257372×R²
    0.00153397999999982×0.000489816427257372×6371000²
    0.00153397999999982×0.000489816427257372×40589641000000     		ar = 11006772.2769358m²