Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31307 / 38171
↖ ↑ ↗
← S 28.434884°
W  8.025513°		 ← 537.10 m → S 28.434884°
W  8.020020°		 →
↑
537.08 m
↓
↑
537.08 m
↓
S 28.439714°
W  8.025513°		 ← 537.08 m →
288 457 m²		 S 28.439714°
W  8.020020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477714538574219 y=0.582450866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477714538574219 × 216)
    floor (0.477714538574219 × 65536)
    floor (31307.5)     		tx = 31307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582450866699219 × 216)
    floor (0.582450866699219 × 65536)
    floor (38171.5)     		ty = 38171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31307 / 38171 ti = "16/31307/38171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31307/38171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31307 ÷ 216
    31307 ÷ 65536     		x = 0.477706909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38171 ÷ 216
    38171 ÷ 65536     		y = 0.582443237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477706909179688 × 2 - 1) × π
    -0.044586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14007162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582443237304688 × 2 - 1) × π
    -0.164886474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.518006137294327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14007162} λ = -0.14007162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518006137294327))-π/2
    2×atan(0.595707122859157)-π/2
    2×0.537256993961909-π/2
    1.07451398792382-1.57079632675     		φ = -0.49628234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14007162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.025513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49628234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.434884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31307 KachelY 38171 -0.14007162 -0.49628234 -8.025513 -28.434884
    Oben rechts KachelX + 1 31308 KachelY 38171 -0.13997575 -0.49628234 -8.020020 -28.434884
    Unten links KachelX 31307 KachelY + 1 38172 -0.14007162 -0.49636664 -8.025513 -28.439714
    Unten rechts KachelX + 1 31308 KachelY + 1 38172 -0.13997575 -0.49636664 -8.020020 -28.439714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49628234--0.49636664) × R
    8.43000000000371e-05 × 6371000     		dl = 537.075300000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49628234--0.49636664) × R
    8.43000000000371e-05 × 6371000     		dr = 537.075300000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14007162--0.13997575) × cos(-0.49628234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879358834407102 × 6371000     		do = 537.101621497301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14007162--0.13997575) × cos(-0.49636664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879318691021593 × 6371000     		du = 537.077102408386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49628234)-sin(-0.49636664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879358834407102-0.879318691021593)×R²
    abs(-0.13997575--0.14007162)×4.01433855088396e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01433855088396e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01433855088396e-05×40589641000000     		ar = 288457.430368696m²