Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31307 / 14918
↖ ↑ ↗
← N 69.522990°
W  8.025513°		 ← 213.67 m → N 69.522990°
W  8.020020°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
N 69.521069°
W  8.025513°		 ← 213.69 m →
45 660 m²		 N 69.521069°
W  8.020020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477714538574219 y=0.227638244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477714538574219 × 216)
    floor (0.477714538574219 × 65536)
    floor (31307.5)     		tx = 31307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227638244628906 × 216)
    floor (0.227638244628906 × 65536)
    floor (14918.5)     		ty = 14918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31307 / 14918 ti = "16/31307/14918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31307/14918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31307 ÷ 216
    31307 ÷ 65536     		x = 0.477706909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14918 ÷ 216
    14918 ÷ 65536     		y = 0.227630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477706909179688 × 2 - 1) × π
    -0.044586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14007162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227630615234375 × 2 - 1) × π
    0.54473876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.711347316436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14007162} λ = -0.14007162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.711347316436))-π/2
    2×atan(5.536415758807)-π/2
    2×1.39210070969236-π/2
    2.78420141938472-1.57079632675     		φ = 1.21340509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14007162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.025513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21340509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.522990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31307 KachelY 14918 -0.14007162 1.21340509 -8.025513 69.522990
    Oben rechts KachelX + 1 31308 KachelY 14918 -0.13997575 1.21340509 -8.020020 69.522990
    Unten links KachelX 31307 KachelY + 1 14919 -0.14007162 1.21337155 -8.025513 69.521069
    Unten rechts KachelX + 1 31308 KachelY + 1 14919 -0.13997575 1.21337155 -8.020020 69.521069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21340509-1.21337155) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21340509-1.21337155) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14007162--0.13997575) × cos(1.21340509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349831504120985 × 6371000     		do = 213.672804277797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14007162--0.13997575) × cos(1.21337155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349862924620089 × 6371000     		du = 213.691995534378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21340509)-sin(1.21337155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349831504120985-0.349862924620089)×R²
    abs(-0.13997575--0.14007162)×3.14204991044842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14204991044842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14204991044842e-05×40589641000000     		ar = 45660.3689153747m²