Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31306 / 19786
↖ ↑ ↗
← N 57.862288°
W  8.031006°		 ← 324.91 m → N 57.862288°
W  8.025513°		 →
↑
324.92 m
↓
↑
324.92 m
↓
N 57.859366°
W  8.031006°		 ← 324.94 m →
105 575 m²		 N 57.859366°
W  8.025513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477699279785156 y=0.301918029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477699279785156 × 216)
    floor (0.477699279785156 × 65536)
    floor (31306.5)     		tx = 31306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301918029785156 × 216)
    floor (0.301918029785156 × 65536)
    floor (19786.5)     		ty = 19786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31306 / 19786 ti = "16/31306/19786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31306/19786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31306 ÷ 216
    31306 ÷ 65536     		x = 0.477691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19786 ÷ 216
    19786 ÷ 65536     		y = 0.301910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.04461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14016749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301910400390625 × 2 - 1) × π
    0.39617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24463366173514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14016749} λ = -0.14016749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24463366173514))-π/2
    2×atan(3.4716627634404)-π/2
    2×1.29034188250577-π/2
    2.58068376501154-1.57079632675     		φ = 1.00988744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14016749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00988744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.862288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31306 KachelY 19786 -0.14016749 1.00988744 -8.031006 57.862288
    Oben rechts KachelX + 1 31307 KachelY 19786 -0.14007162 1.00988744 -8.025513 57.862288
    Unten links KachelX 31306 KachelY + 1 19787 -0.14016749 1.00983644 -8.031006 57.859366
    Unten rechts KachelX + 1 31307 KachelY + 1 19787 -0.14007162 1.00983644 -8.025513 57.859366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00988744-1.00983644) × R
    5.10000000000232e-05 × 6371000     		dl = 324.921000000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00988744-1.00983644) × R
    5.10000000000232e-05 × 6371000     		dr = 324.921000000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14016749--0.14007162) × cos(1.00988744) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531956037397312 × 6371000     		do = 324.912241819934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14016749--0.14007162) × cos(1.00983644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531999222076108 × 6371000     		du = 324.938618493594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00988744)-sin(1.00983644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531956037397312-0.531999222076108)×R²
    abs(-0.14007162--0.14016749)×4.31846787960488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31846787960488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31846787960488e-05×40589641000000     		ar = 105575.095715178m²