Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31306 / 13494
↖ ↑ ↗
← N 72.090811°
W  8.031006°		 ← 187.82 m → N 72.090811°
W  8.025513°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 72.089122°
W  8.031006°		 ← 187.84 m →
35 290 m²		 N 72.089122°
W  8.025513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477699279785156 y=0.205909729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477699279785156 × 216)
    floor (0.477699279785156 × 65536)
    floor (31306.5)     		tx = 31306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205909729003906 × 216)
    floor (0.205909729003906 × 65536)
    floor (13494.5)     		ty = 13494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31306 / 13494 ti = "16/31306/13494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31306/13494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31306 ÷ 216
    31306 ÷ 65536     		x = 0.477691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13494 ÷ 216
    13494 ÷ 65536     		y = 0.205902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.04461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14016749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205902099609375 × 2 - 1) × π
    0.58819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84787160655392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14016749} λ = -0.14016749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84787160655392))-π/2
    2×atan(6.34629771937493)-π/2
    2×1.41450917116662-π/2
    2.82901834233323-1.57079632675     		φ = 1.25822202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14016749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25822202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.090811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31306 KachelY 13494 -0.14016749 1.25822202 -8.031006 72.090811
    Oben rechts KachelX + 1 31307 KachelY 13494 -0.14007162 1.25822202 -8.025513 72.090811
    Unten links KachelX 31306 KachelY + 1 13495 -0.14016749 1.25819253 -8.031006 72.089122
    Unten rechts KachelX + 1 31307 KachelY + 1 13495 -0.14007162 1.25819253 -8.025513 72.089122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25822202-1.25819253) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dl = 187.880789999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25822202-1.25819253) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dr = 187.880789999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14016749--0.14007162) × cos(1.25822202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307509221695901 × 6371000     		do = 187.822871774071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14016749--0.14007162) × cos(1.25819253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307537282627201 × 6371000     		du = 187.840011047723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25822202)-sin(1.25819253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307509221695901-0.307537282627201)×R²
    abs(-0.14007162--0.14016749)×2.80609312998115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80609312998115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80609312998115e-05×40589641000000     		ar = 35289.9196018692m²