Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31305 / 39574
↖ ↑ ↗
← S 34.985003°
W  8.036499°		 ← 500.47 m → S 34.985003°
W  8.031006°		 →
↑
500.44 m
↓
↑
500.44 m
↓
S 34.989504°
W  8.036499°		 ← 500.44 m →
250 450 m²		 S 34.989504°
W  8.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477684020996094 y=0.603858947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477684020996094 × 216)
    floor (0.477684020996094 × 65536)
    floor (31305.5)     		tx = 31305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603858947753906 × 216)
    floor (0.603858947753906 × 65536)
    floor (39574.5)     		ty = 39574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31305 / 39574 ti = "16/31305/39574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31305/39574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31305 ÷ 216
    31305 ÷ 65536     		x = 0.477676391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39574 ÷ 216
    39574 ÷ 65536     		y = 0.603851318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477676391601562 × 2 - 1) × π
    -0.044647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14026337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603851318359375 × 2 - 1) × π
    -0.20770263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.652517077628204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14026337} λ = -0.14026337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.652517077628204))-π/2
    2×atan(0.520733399386197)-π/2
    2×0.480096416684085-π/2
    0.96019283336817-1.57079632675     		φ = -0.61060349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14026337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.036499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61060349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.985003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31305 KachelY 39574 -0.14026337 -0.61060349 -8.036499 -34.985003
    Oben rechts KachelX + 1 31306 KachelY 39574 -0.14016749 -0.61060349 -8.031006 -34.985003
    Unten links KachelX 31305 KachelY + 1 39575 -0.14026337 -0.61068204 -8.036499 -34.989504
    Unten rechts KachelX + 1 31306 KachelY + 1 39575 -0.14016749 -0.61068204 -8.031006 -34.989504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61060349--0.61068204) × R
    7.85500000000106e-05 × 6371000     		dl = 500.442050000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61060349--0.61068204) × R
    7.85500000000106e-05 × 6371000     		dr = 500.442050000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14026337--0.14016749) × cos(-0.61060349) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.819302148824995 × 6371000     		do = 500.47193017689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14026337--0.14016749) × cos(-0.61068204) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.819257108711949 × 6371000     		du = 500.444417357177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61060349)-sin(-0.61068204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819302148824995-0.819257108711949)×R²
    abs(-0.14016749--0.14026337)×4.50401130460687e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50401130460687e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50401130460687e-05×40589641000000     		ar = 250450.314547983m²