Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31305 / 19785
↖ ↑ ↗
← N 57.865210°
W  8.036499°		 ← 324.92 m → N 57.865210°
W  8.031006°		 →
↑
324.92 m
↓
↑
324.92 m
↓
N 57.862288°
W  8.036499°		 ← 324.95 m →
105 578 m²		 N 57.862288°
W  8.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477684020996094 y=0.301902770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477684020996094 × 216)
    floor (0.477684020996094 × 65536)
    floor (31305.5)     		tx = 31305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301902770996094 × 216)
    floor (0.301902770996094 × 65536)
    floor (19785.5)     		ty = 19785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31305 / 19785 ti = "16/31305/19785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31305/19785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31305 ÷ 216
    31305 ÷ 65536     		x = 0.477676391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19785 ÷ 216
    19785 ÷ 65536     		y = 0.301895141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477676391601562 × 2 - 1) × π
    -0.044647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14026337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301895141601562 × 2 - 1) × π
    0.396209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24472953553438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14026337} λ = -0.14026337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24472953553438))-π/2
    2×atan(3.47199562089511)-π/2
    2×1.29036738179393-π/2
    2.58073476358785-1.57079632675     		φ = 1.00993844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14026337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.036499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00993844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.865210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31305 KachelY 19785 -0.14026337 1.00993844 -8.036499 57.865210
    Oben rechts KachelX + 1 31306 KachelY 19785 -0.14016749 1.00993844 -8.031006 57.865210
    Unten links KachelX 31305 KachelY + 1 19786 -0.14026337 1.00988744 -8.036499 57.862288
    Unten rechts KachelX + 1 31306 KachelY + 1 19786 -0.14016749 1.00988744 -8.031006 57.862288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00993844-1.00988744) × R
    5.10000000000232e-05 × 6371000     		dl = 324.921000000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00993844-1.00988744) × R
    5.10000000000232e-05 × 6371000     		dr = 324.921000000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14026337--0.14016749) × cos(1.00993844) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531912851334899 × 6371000     		do = 324.919752468918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14026337--0.14016749) × cos(1.00988744) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531956037397312 × 6371000     		du = 324.946132739059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00993844)-sin(1.00988744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531912851334899-0.531956037397312)×R²
    abs(-0.14016749--0.14026337)×4.31860624136027e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.31860624136027e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31860624136027e-05×40589641000000     		ar = 105577.536666671m²