Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31305 / 13493
↖ ↑ ↗
← N 72.092501°
W  8.036499°		 ← 187.83 m → N 72.092501°
W  8.031006°		 →
↑
187.82 m
↓
↑
187.82 m
↓
N 72.090811°
W  8.036499°		 ← 187.84 m →
35 278 m²		 N 72.090811°
W  8.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477684020996094 y=0.205894470214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477684020996094 × 216)
    floor (0.477684020996094 × 65536)
    floor (31305.5)     		tx = 31305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205894470214844 × 216)
    floor (0.205894470214844 × 65536)
    floor (13493.5)     		ty = 13493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31305 / 13493 ti = "16/31305/13493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31305/13493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31305 ÷ 216
    31305 ÷ 65536     		x = 0.477676391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13493 ÷ 216
    13493 ÷ 65536     		y = 0.205886840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477676391601562 × 2 - 1) × π
    -0.044647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14026337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205886840820312 × 2 - 1) × π
    0.588226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84796748035316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14026337} λ = -0.14026337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84796748035316))-π/2
    2×atan(6.34690619221623)-π/2
    2×1.41452391153313-π/2
    2.82904782306626-1.57079632675     		φ = 1.25825150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14026337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.036499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25825150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.092501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31305 KachelY 13493 -0.14026337 1.25825150 -8.036499 72.092501
    Oben rechts KachelX + 1 31306 KachelY 13493 -0.14016749 1.25825150 -8.031006 72.092501
    Unten links KachelX 31305 KachelY + 1 13494 -0.14026337 1.25822202 -8.036499 72.090811
    Unten rechts KachelX + 1 31306 KachelY + 1 13494 -0.14016749 1.25822202 -8.031006 72.090811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25825150-1.25822202) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dl = 187.817080000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25825150-1.25822202) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dr = 187.817080000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14026337--0.14016749) × cos(1.25825150) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.307481170012714 × 6371000     		do = 187.825327774384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14026337--0.14016749) × cos(1.25822202) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.307509221695901 × 6371000     		du = 187.842463186575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25825150)-sin(1.25822202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307481170012714-0.307509221695901)×R²
    abs(-0.14016749--0.14026337)×2.80516831867583e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.80516831867583e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.80516831867583e-05×40589641000000     		ar = 35278.4137769279m²