Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31304 / 39575
↖ ↑ ↗
← S 34.989504°
W  8.041992°		 ← 500.39 m → S 34.989504°
W  8.036499°		 →
↑
500.38 m
↓
↑
500.38 m
↓
S 34.994004°
W  8.041992°		 ← 500.36 m →
250 379 m²		 S 34.994004°
W  8.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477668762207031 y=0.603874206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477668762207031 × 216)
    floor (0.477668762207031 × 65536)
    floor (31304.5)     		tx = 31304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603874206542969 × 216)
    floor (0.603874206542969 × 65536)
    floor (39575.5)     		ty = 39575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31304 / 39575 ti = "16/31304/39575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31304/39575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31304 ÷ 216
    31304 ÷ 65536     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39575 ÷ 216
    39575 ÷ 65536     		y = 0.603866577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603866577148438 × 2 - 1) × π
    -0.207733154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.652612951427444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.652612951427444))-π/2
    2×atan(0.520683477089965)-π/2
    2×0.480057142958809-π/2
    0.960114285917617-1.57079632675     		φ = -0.61068204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61068204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.989504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31304 KachelY 39575 -0.14035924 -0.61068204 -8.041992 -34.989504
    Oben rechts KachelX + 1 31305 KachelY 39575 -0.14026337 -0.61068204 -8.036499 -34.989504
    Unten links KachelX 31304 KachelY + 1 39576 -0.14035924 -0.61076058 -8.041992 -34.994004
    Unten rechts KachelX + 1 31305 KachelY + 1 39576 -0.14026337 -0.61076058 -8.036499 -34.994004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61068204--0.61076058) × R
    7.85399999999603e-05 × 6371000     		dl = 500.378339999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61068204--0.61076058) × R
    7.85399999999603e-05 × 6371000     		dr = 500.378339999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(-0.61068204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819257108711949 × 6371000     		do = 500.392222486808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(-0.61076058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.81921206927891 × 6371000     		du = 500.36471295194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61068204)-sin(-0.61076058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819257108711949-0.81921206927891)×R²
    abs(-0.14026337--0.14035924)×4.50394330392401e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50394330392401e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50394330392401e-05×40589641000000     		ar = 250378.547177645m²