Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31304 / 19860
↖ ↑ ↗
← N 57.645401°
W  8.041992°		 ← 326.87 m → N 57.645401°
W  8.036499°		 →
↑
326.90 m
↓
↑
326.90 m
↓
N 57.642461°
W  8.041992°		 ← 326.89 m →
106 856 m²		 N 57.642461°
W  8.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477668762207031 y=0.303047180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477668762207031 × 216)
    floor (0.477668762207031 × 65536)
    floor (31304.5)     		tx = 31304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303047180175781 × 216)
    floor (0.303047180175781 × 65536)
    floor (19860.5)     		ty = 19860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31304 / 19860 ti = "16/31304/19860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31304/19860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31304 ÷ 216
    31304 ÷ 65536     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19860 ÷ 216
    19860 ÷ 65536     		y = 0.30303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30303955078125 × 2 - 1) × π
    0.3939208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23753900059137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23753900059137))-π/2
    2×atan(3.44711965798308)-π/2
    2×1.28844918352677-π/2
    2.57689836705355-1.57079632675     		φ = 1.00610204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00610204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.645401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31304 KachelY 19860 -0.14035924 1.00610204 -8.041992 57.645401
    Oben rechts KachelX + 1 31305 KachelY 19860 -0.14026337 1.00610204 -8.036499 57.645401
    Unten links KachelX 31304 KachelY + 1 19861 -0.14035924 1.00605073 -8.041992 57.642461
    Unten rechts KachelX + 1 31305 KachelY + 1 19861 -0.14026337 1.00605073 -8.036499 57.642461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00610204-1.00605073) × R
    5.13100000001376e-05 × 6371000     		dl = 326.896010000877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00610204-1.00605073) × R
    5.13100000001376e-05 × 6371000     		dr = 326.896010000877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.00610204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.535157589107044 × 6371000     		do = 326.867710449261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.00605073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.535200932640239 × 6371000     		du = 326.894184149244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00610204)-sin(1.00605073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535157589107044-0.535200932640239)×R²
    abs(-0.14026337--0.14035924)×4.3343533194462e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3343533194462e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3343533194462e-05×40589641000000     		ar = 106856.07744104m²