Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31304 / 19773
↖ ↑ ↗
← N 57.900256°
W  8.041992°		 ← 324.57 m → N 57.900256°
W  8.036499°		 →
↑
324.60 m
↓
↑
324.60 m
↓
N 57.897336°
W  8.041992°		 ← 324.60 m →
105 360 m²		 N 57.897336°
W  8.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477668762207031 y=0.301719665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477668762207031 × 216)
    floor (0.477668762207031 × 65536)
    floor (31304.5)     		tx = 31304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301719665527344 × 216)
    floor (0.301719665527344 × 65536)
    floor (19773.5)     		ty = 19773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31304 / 19773 ti = "16/31304/19773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31304/19773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31304 ÷ 216
    31304 ÷ 65536     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19773 ÷ 216
    19773 ÷ 65536     		y = 0.301712036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301712036132812 × 2 - 1) × π
    0.396575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24588002112526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24588002112526))-π/2
    2×atan(3.47599240050637)-π/2
    2×1.29067321181333-π/2
    2.58134642362667-1.57079632675     		φ = 1.01055010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01055010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.900256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31304 KachelY 19773 -0.14035924 1.01055010 -8.041992 57.900256
    Oben rechts KachelX + 1 31305 KachelY 19773 -0.14026337 1.01055010 -8.036499 57.900256
    Unten links KachelX 31304 KachelY + 1 19774 -0.14035924 1.01049915 -8.041992 57.897336
    Unten rechts KachelX + 1 31305 KachelY + 1 19774 -0.14026337 1.01049915 -8.036499 57.897336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01055010-1.01049915) × R
    5.0949999999883e-05 × 6371000     		dl = 324.602449999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01055010-1.01049915) × R
    5.0949999999883e-05 × 6371000     		dr = 324.602449999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.01055010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531394798726939 × 6371000     		do = 324.569444104019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.01049915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531437959019927 × 6371000     		du = 324.595805883125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01055010)-sin(1.01049915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531394798726939-0.531437959019927)×R²
    abs(-0.14026337--0.14035924)×4.31602929878983e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31602929878983e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31602929878983e-05×40589641000000     		ar = 105360.315323045m²