Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31304 / 19720
↖ ↑ ↗
← N 58.054632°
W  8.041992°		 ← 323.17 m → N 58.054632°
W  8.036499°		 →
↑
323.20 m
↓
↑
323.20 m
↓
N 58.051725°
W  8.041992°		 ← 323.20 m →
104 454 m²		 N 58.051725°
W  8.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477668762207031 y=0.300910949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477668762207031 × 216)
    floor (0.477668762207031 × 65536)
    floor (31304.5)     		tx = 31304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300910949707031 × 216)
    floor (0.300910949707031 × 65536)
    floor (19720.5)     		ty = 19720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31304 / 19720 ti = "16/31304/19720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31304/19720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31304 ÷ 216
    31304 ÷ 65536     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19720 ÷ 216
    19720 ÷ 65536     		y = 0.3009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3009033203125 × 2 - 1) × π
    0.398193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25096133248499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25096133248499))-π/2
    2×atan(3.49369995086546)-π/2
    2×1.2920203998314-π/2
    2.5840407996628-1.57079632675     		φ = 1.01324447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01324447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.054632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31304 KachelY 19720 -0.14035924 1.01324447 -8.041992 58.054632
    Oben rechts KachelX + 1 31305 KachelY 19720 -0.14026337 1.01324447 -8.036499 58.054632
    Unten links KachelX 31304 KachelY + 1 19721 -0.14035924 1.01319374 -8.041992 58.051725
    Unten rechts KachelX + 1 31305 KachelY + 1 19721 -0.14026337 1.01319374 -8.036499 58.051725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01324447-1.01319374) × R
    5.07300000001099e-05 × 6371000     		dl = 323.2008300007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01324447-1.01319374) × R
    5.07300000001099e-05 × 6371000     		dr = 323.2008300007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.01324447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.529110406343535 × 6371000     		do = 323.174165174355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.01319374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52915345275589 × 6371000     		du = 323.200457396563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01324447)-sin(1.01319374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529110406343535-0.52915345275589)×R²
    abs(-0.14026337--0.14035924)×4.30464123545304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30464123545304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30464123545304e-05×40589641000000     		ar = 104454.407275529m²