Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31304 / 19510
↖ ↑ ↗
← N 58.659800°
W  8.041992°		 ← 317.68 m → N 58.659800°
W  8.036499°		 →
↑
317.72 m
↓
↑
317.72 m
↓
N 58.656942°
W  8.041992°		 ← 317.71 m →
100 939 m²		 N 58.656942°
W  8.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477668762207031 y=0.297706604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477668762207031 × 216)
    floor (0.477668762207031 × 65536)
    floor (31304.5)     		tx = 31304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297706604003906 × 216)
    floor (0.297706604003906 × 65536)
    floor (19510.5)     		ty = 19510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31304 / 19510 ti = "16/31304/19510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31304/19510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31304 ÷ 216
    31304 ÷ 65536     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19510 ÷ 216
    19510 ÷ 65536     		y = 0.297698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297698974609375 × 2 - 1) × π
    0.40460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27109483032541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27109483032541))-π/2
    2×atan(3.56475322661823)-π/2
    2×1.29730148161025-π/2
    2.59460296322049-1.57079632675     		φ = 1.02380664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02380664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.659800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31304 KachelY 19510 -0.14035924 1.02380664 -8.041992 58.659800
    Oben rechts KachelX + 1 31305 KachelY 19510 -0.14026337 1.02380664 -8.036499 58.659800
    Unten links KachelX 31304 KachelY + 1 19511 -0.14035924 1.02375677 -8.041992 58.656942
    Unten rechts KachelX + 1 31305 KachelY + 1 19511 -0.14026337 1.02375677 -8.036499 58.656942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02380664-1.02375677) × R
    4.98700000000074e-05 × 6371000     		dl = 317.721770000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02380664-1.02375677) × R
    4.98700000000074e-05 × 6371000     		dr = 317.721770000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.02380664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.520118498690008 × 6371000     		do = 317.682017950611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.02375677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.520161091716443 × 6371000     		du = 317.708033250245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02380664)-sin(1.02375677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520118498690008-0.520161091716443)×R²
    abs(-0.14026337--0.14035924)×4.2593026434945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2593026434945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2593026434945e-05×40589641000000     		ar = 100938.625874727m²