Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31304 / 12724
↖ ↑ ↗
← N 73.346759°
W  8.041992°		 ← 175.04 m → N 73.346759°
W  8.036499°		 →
↑
175.01 m
↓
↑
175.01 m
↓
N 73.345185°
W  8.041992°		 ← 175.05 m →
30 635 m²		 N 73.345185°
W  8.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477668762207031 y=0.194160461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477668762207031 × 216)
    floor (0.477668762207031 × 65536)
    floor (31304.5)     		tx = 31304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194160461425781 × 216)
    floor (0.194160461425781 × 65536)
    floor (12724.5)     		ty = 12724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31304 / 12724 ti = "16/31304/12724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31304/12724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31304 ÷ 216
    31304 ÷ 65536     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12724 ÷ 216
    12724 ÷ 65536     		y = 0.19415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19415283203125 × 2 - 1) × π
    0.6116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92169443196881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92169443196881))-π/2
    2×atan(6.83252591673782)-π/2
    2×1.42546938525627-π/2
    2.85093877051253-1.57079632675     		φ = 1.28014244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28014244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.346759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31304 KachelY 12724 -0.14035924 1.28014244 -8.041992 73.346759
    Oben rechts KachelX + 1 31305 KachelY 12724 -0.14026337 1.28014244 -8.036499 73.346759
    Unten links KachelX 31304 KachelY + 1 12725 -0.14035924 1.28011497 -8.041992 73.345185
    Unten rechts KachelX + 1 31305 KachelY + 1 12725 -0.14026337 1.28011497 -8.036499 73.345185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28014244-1.28011497) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dl = 175.011370000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28014244-1.28011497) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dr = 175.011370000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.28014244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.286578746944673 × 6371000     		do = 175.038793775727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14026337) × cos(1.28011497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.286605064653825 × 6371000     		du = 175.054868310612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28014244)-sin(1.28011497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286578746944673-0.286605064653825)×R²
    abs(-0.14026337--0.14035924)×2.63177091525679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.63177091525679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.63177091525679e-05×40589641000000     		ar = 30635.185716726m²