Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31303 / 16837
↖ ↑ ↗
← N 65.501576°
W  8.047486°		 ← 253.30 m → N 65.501576°
W  8.041992°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
N 65.499298°
W  8.047486°		 ← 253.32 m →
64 151 m²		 N 65.499298°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477653503417969 y=0.256919860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477653503417969 × 216)
    floor (0.477653503417969 × 65536)
    floor (31303.5)     		tx = 31303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256919860839844 × 216)
    floor (0.256919860839844 × 65536)
    floor (16837.5)     		ty = 16837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31303 / 16837 ti = "16/31303/16837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31303/16837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31303 ÷ 216
    31303 ÷ 65536     		x = 0.477645874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16837 ÷ 216
    16837 ÷ 65536     		y = 0.256912231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477645874023438 × 2 - 1) × π
    -0.044708251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14045512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256912231445312 × 2 - 1) × π
    0.486175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52736549569423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14045512} λ = -0.14045512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52736549569423))-π/2
    2×atan(4.60602622800083)-π/2
    2×1.35700724516568-π/2
    2.71401449033136-1.57079632675     		φ = 1.14321816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14045512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.047486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14321816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.501576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31303 KachelY 16837 -0.14045512 1.14321816 -8.047486 65.501576
    Oben rechts KachelX + 1 31304 KachelY 16837 -0.14035924 1.14321816 -8.041992 65.501576
    Unten links KachelX 31303 KachelY + 1 16838 -0.14045512 1.14317841 -8.047486 65.499298
    Unten rechts KachelX + 1 31304 KachelY + 1 16838 -0.14035924 1.14317841 -8.041992 65.499298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14321816-1.14317841) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dl = 253.247250000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14321816-1.14317841) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dr = 253.247250000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14045512--0.14035924) × cos(1.14321816) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.414668218615706 × 6371000     		do = 253.300695050348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14045512--0.14035924) × cos(1.14317841) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.41470438970191 × 6371000     		du = 253.322790211889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14321816)-sin(1.14317841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414668218615706-0.41470438970191)×R²
    abs(-0.14035924--0.14045512)×3.61710862039066e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.61710862039066e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.61710862039066e-05×40589641000000     		ar = 64150.5022225167m²