Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31303 / 12727
↖ ↑ ↗
← N 73.342036°
W  8.047486°		 ← 175.11 m → N 73.342036°
W  8.041992°		 →
↑
175.14 m
↓
↑
175.14 m
↓
N 73.340461°
W  8.047486°		 ← 175.12 m →
30 669 m²		 N 73.340461°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477653503417969 y=0.194206237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477653503417969 × 216)
    floor (0.477653503417969 × 65536)
    floor (31303.5)     		tx = 31303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194206237792969 × 216)
    floor (0.194206237792969 × 65536)
    floor (12727.5)     		ty = 12727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31303 / 12727 ti = "16/31303/12727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31303/12727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31303 ÷ 216
    31303 ÷ 65536     		x = 0.477645874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12727 ÷ 216
    12727 ÷ 65536     		y = 0.194198608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477645874023438 × 2 - 1) × π
    -0.044708251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14045512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194198608398438 × 2 - 1) × π
    0.611602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92140681057109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14045512} λ = -0.14045512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92140681057109))-π/2
    2×atan(6.83056101867059)-π/2
    2×1.42542816648814-π/2
    2.85085633297627-1.57079632675     		φ = 1.28006001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14045512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.047486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28006001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.342036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31303 KachelY 12727 -0.14045512 1.28006001 -8.047486 73.342036
    Oben rechts KachelX + 1 31304 KachelY 12727 -0.14035924 1.28006001 -8.041992 73.342036
    Unten links KachelX 31303 KachelY + 1 12728 -0.14045512 1.28003252 -8.047486 73.340461
    Unten rechts KachelX + 1 31304 KachelY + 1 12728 -0.14035924 1.28003252 -8.041992 73.340461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28006001-1.28003252) × R
    2.74899999999079e-05 × 6371000     		dl = 175.138789999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28006001-1.28003252) × R
    2.74899999999079e-05 × 6371000     		dr = 175.138789999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14045512--0.14035924) × cos(1.28006001) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.286657718583955 × 6371000     		do = 175.105291650419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14045512--0.14035924) × cos(1.28003252) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.286684054804576 × 6371000     		du = 175.121379169763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28006001)-sin(1.28003252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286657718583955-0.286684054804576)×R²
    abs(-0.14035924--0.14045512)×2.63362206217588e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.63362206217588e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.63362206217588e-05×40589641000000     		ar = 30669.137678223m²