Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31302 / 39579
↖ ↑ ↗
← S 35.007503°
W  8.052979°		 ← 500.28 m → S 35.007503°
W  8.047486°		 →
↑
500.25 m
↓
↑
500.25 m
↓
S 35.012002°
W  8.052979°		 ← 500.25 m →
250 260 m²		 S 35.012002°
W  8.047486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477638244628906 y=0.603935241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477638244628906 × 216)
    floor (0.477638244628906 × 65536)
    floor (31302.5)     		tx = 31302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603935241699219 × 216)
    floor (0.603935241699219 × 65536)
    floor (39579.5)     		ty = 39579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31302 / 39579 ti = "16/31302/39579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31302/39579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31302 ÷ 216
    31302 ÷ 65536     		x = 0.477630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39579 ÷ 216
    39579 ÷ 65536     		y = 0.603927612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603927612304688 × 2 - 1) × π
    -0.207855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.652996446624405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14055099} λ = -0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.652996446624405))-π/2
    2×atan(0.520483835760557)-π/2
    2×0.47990006964969-π/2
    0.959800139299381-1.57079632675     		φ = -0.61099619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61099619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.007503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31302 KachelY 39579 -0.14055099 -0.61099619 -8.052979 -35.007503
    Oben rechts KachelX + 1 31303 KachelY 39579 -0.14045512 -0.61099619 -8.047486 -35.007503
    Unten links KachelX 31302 KachelY + 1 39580 -0.14055099 -0.61107471 -8.052979 -35.012002
    Unten rechts KachelX + 1 31303 KachelY + 1 39580 -0.14045512 -0.61107471 -8.047486 -35.012002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61099619--0.61107471) × R
    7.85199999999708e-05 × 6371000     		dl = 500.250919999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61099619--0.61107471) × R
    7.85199999999708e-05 × 6371000     		dr = 500.250919999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14055099--0.14045512) × cos(-0.61099619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819076926397727 × 6371000     		do = 500.282169332911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14055099--0.14045512) × cos(-0.61107471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819031878228617 × 6371000     		du = 500.254654462158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61099619)-sin(-0.61107471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819076926397727-0.819031878228617)×R²
    abs(-0.14045512--0.14055099)×4.50481691104399e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50481691104399e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50481691104399e-05×40589641000000     		ar = 250259.733427215m²