Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31302 / 19509
↖ ↑ ↗
← N 58.662656°
W  8.052979°		 ← 317.66 m → N 58.662656°
W  8.047486°		 →
↑
317.66 m
↓
↑
317.66 m
↓
N 58.659800°
W  8.052979°		 ← 317.68 m →
100 910 m²		 N 58.659800°
W  8.047486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477638244628906 y=0.297691345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477638244628906 × 216)
    floor (0.477638244628906 × 65536)
    floor (31302.5)     		tx = 31302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297691345214844 × 216)
    floor (0.297691345214844 × 65536)
    floor (19509.5)     		ty = 19509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31302 / 19509 ti = "16/31302/19509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31302/19509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31302 ÷ 216
    31302 ÷ 65536     		x = 0.477630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19509 ÷ 216
    19509 ÷ 65536     		y = 0.297683715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14055099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297683715820312 × 2 - 1) × π
    0.404632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27119070412465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14055099} λ = -0.14055099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27119070412465))-π/2
    2×atan(3.56509500943717)-π/2
    2×1.29732641345785-π/2
    2.59465282691571-1.57079632675     		φ = 1.02385650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14055099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02385650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.662656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31302 KachelY 19509 -0.14055099 1.02385650 -8.052979 58.662656
    Oben rechts KachelX + 1 31303 KachelY 19509 -0.14045512 1.02385650 -8.047486 58.662656
    Unten links KachelX 31302 KachelY + 1 19510 -0.14055099 1.02380664 -8.052979 58.659800
    Unten rechts KachelX + 1 31303 KachelY + 1 19510 -0.14045512 1.02380664 -8.047486 58.659800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02385650-1.02380664) × R
    4.98599999998461e-05 × 6371000     		dl = 317.65805999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02385650-1.02380664) × R
    4.98599999998461e-05 × 6371000     		dr = 317.65805999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14055099--0.14045512) × cos(1.02385650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52007591291123 × 6371000     		do = 317.656007077758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14055099--0.14045512) × cos(1.02380664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.520118498690008 × 6371000     		du = 317.682017950611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02385650)-sin(1.02380664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52007591291123-0.520118498690008)×R²
    abs(-0.14045512--0.14055099)×4.25857787779149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25857787779149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25857787779149e-05×40589641000000     		ar = 100910.122258116m²