Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31301 / 19809
↖ ↑ ↗
← N 57.795017°
W  8.058471°		 ← 325.52 m → N 57.795017°
W  8.052979°		 →
↑
325.56 m
↓
↑
325.56 m
↓
N 57.792089°
W  8.058471°		 ← 325.55 m →
105 980 m²		 N 57.792089°
W  8.052979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477622985839844 y=0.302268981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477622985839844 × 216)
    floor (0.477622985839844 × 65536)
    floor (31301.5)     		tx = 31301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302268981933594 × 216)
    floor (0.302268981933594 × 65536)
    floor (19809.5)     		ty = 19809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31301 / 19809 ti = "16/31301/19809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31301/19809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31301 ÷ 216
    31301 ÷ 65536     		x = 0.477615356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19809 ÷ 216
    19809 ÷ 65536     		y = 0.302261352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477615356445312 × 2 - 1) × π
    -0.044769287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14064686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302261352539062 × 2 - 1) × π
    0.395477294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24242856435262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14064686} λ = -0.14064686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24242856435262))-π/2
    2×atan(3.46401584316824)-π/2
    2×1.28975482729747-π/2
    2.57950965459495-1.57079632675     		φ = 1.00871333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14064686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.058471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00871333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.795017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31301 KachelY 19809 -0.14064686 1.00871333 -8.058471 57.795017
    Oben rechts KachelX + 1 31302 KachelY 19809 -0.14055099 1.00871333 -8.052979 57.795017
    Unten links KachelX 31301 KachelY + 1 19810 -0.14064686 1.00866223 -8.058471 57.792089
    Unten rechts KachelX + 1 31302 KachelY + 1 19810 -0.14055099 1.00866223 -8.052979 57.792089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00871333-1.00866223) × R
    5.10999999998596e-05 × 6371000     		dl = 325.558099999105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00871333-1.00866223) × R
    5.10999999998596e-05 × 6371000     		dr = 325.558099999105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14064686--0.14055099) × cos(1.00871333) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.532949873950342 × 6371000     		do = 325.519265031998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14064686--0.14055099) × cos(1.00866223) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.532993111356728 × 6371000     		du = 325.545673911024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00871333)-sin(1.00866223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532949873950342-0.532993111356728)×R²
    abs(-0.14055099--0.14064686)×4.32374063851215e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.32374063851215e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.32374063851215e-05×40589641000000     		ar = 105979.732271951m²