Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31301 / 12779
↖ ↑ ↗
← N 73.259958°
W  8.058471°		 ← 175.93 m → N 73.259958°
W  8.052979°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
N 73.258376°
W  8.058471°		 ← 175.94 m →
30 947 m²		 N 73.258376°
W  8.052979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477622985839844 y=0.194999694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477622985839844 × 216)
    floor (0.477622985839844 × 65536)
    floor (31301.5)     		tx = 31301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194999694824219 × 216)
    floor (0.194999694824219 × 65536)
    floor (12779.5)     		ty = 12779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31301 / 12779 ti = "16/31301/12779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31301/12779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31301 ÷ 216
    31301 ÷ 65536     		x = 0.477615356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12779 ÷ 216
    12779 ÷ 65536     		y = 0.194992065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477615356445312 × 2 - 1) × π
    -0.044769287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14064686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194992065429688 × 2 - 1) × π
    0.610015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91642137301061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14064686} λ = -0.14064686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91642137301061))-π/2
    2×atan(6.7965924277098)-π/2
    2×1.42471190048628-π/2
    2.84942380097256-1.57079632675     		φ = 1.27862747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14064686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.058471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27862747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.259958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31301 KachelY 12779 -0.14064686 1.27862747 -8.058471 73.259958
    Oben rechts KachelX + 1 31302 KachelY 12779 -0.14055099 1.27862747 -8.052979 73.259958
    Unten links KachelX 31301 KachelY + 1 12780 -0.14064686 1.27859986 -8.058471 73.258376
    Unten rechts KachelX + 1 31302 KachelY + 1 12780 -0.14055099 1.27859986 -8.052979 73.258376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27862747-1.27859986) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dl = 175.903310000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27862747-1.27859986) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dr = 175.903310000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14064686--0.14055099) × cos(1.27862747) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.288029844665286 × 6371000     		do = 175.925106516604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14064686--0.14055099) × cos(1.27859986) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.288056284483258 × 6371000     		du = 175.941255634062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27862747)-sin(1.27859986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288029844665286-0.288056284483258)×R²
    abs(-0.14055099--0.14064686)×2.64398179723457e-05×R²
    9.58700000000257e-05×2.64398179723457e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×2.64398179723457e-05×40589641000000     		ar = 30947.2288917057m²