Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31300 / 38228
↖ ↑ ↗
← S 28.709861°
W  8.063965°		 ← 535.76 m → S 28.709861°
W  8.058471°		 →
↑
535.67 m
↓
↑
535.67 m
↓
S 28.714678°
W  8.063965°		 ← 535.73 m →
286 984 m²		 S 28.714678°
W  8.058471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477607727050781 y=0.583320617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477607727050781 × 216)
    floor (0.477607727050781 × 65536)
    floor (31300.5)     		tx = 31300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583320617675781 × 216)
    floor (0.583320617675781 × 65536)
    floor (38228.5)     		ty = 38228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31300 / 38228 ti = "16/31300/38228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31300/38228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31300 ÷ 216
    31300 ÷ 65536     		x = 0.47760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38228 ÷ 216
    38228 ÷ 65536     		y = 0.58331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58331298828125 × 2 - 1) × π
    -0.1666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.523470943851013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14074274} λ = -0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523470943851013))-π/2
    2×atan(0.592460577618744)-π/2
    2×0.534857363645909-π/2
    1.06971472729182-1.57079632675     		φ = -0.50108160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50108160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.709861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31300 KachelY 38228 -0.14074274 -0.50108160 -8.063965 -28.709861
    Oben rechts KachelX + 1 31301 KachelY 38228 -0.14064686 -0.50108160 -8.058471 -28.709861
    Unten links KachelX 31300 KachelY + 1 38229 -0.14074274 -0.50116568 -8.063965 -28.714678
    Unten rechts KachelX + 1 31301 KachelY + 1 38229 -0.14064686 -0.50116568 -8.058471 -28.714678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50108160--0.50116568) × R
    8.40799999999309e-05 × 6371000     		dl = 535.67367999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50108160--0.50116568) × R
    8.40799999999309e-05 × 6371000     		dr = 535.67367999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14074274--0.14064686) × cos(-0.50108160) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.877063502005237 × 6371000     		do = 535.755538253841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14074274--0.14064686) × cos(-0.50116568) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.877023109021243 × 6371000     		du = 535.730864139787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50108160)-sin(-0.50116568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877063502005237-0.877023109021243)×R²
    abs(-0.14064686--0.14074274)×4.0392983993387e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.0392983993387e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.0392983993387e-05×40589641000000     		ar = 286983.532288863m²