Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3130 / 3041
↖ ↑ ↗
← S 65.403445°
E 95.097656°		 ← 4 067.77 m → S 65.403445°
E 95.185547°		 →
↑
4 064.95 m
↓
↑
4 064.95 m
↓
S 65.440002°
E 95.097656°		 ← 4 062.10 m →
16 523 778 m²		 S 65.440002°
E 95.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7642822265625 y=0.7425537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7642822265625 × 212)
    floor (0.7642822265625 × 4096)
    floor (3130.5)     		tx = 3130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7425537109375 × 212)
    floor (0.7425537109375 × 4096)
    floor (3041.5)     		ty = 3041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3130 / 3041 ti = "12/3130/3041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3130/3041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3130 ÷ 212
    3130 ÷ 4096     		x = 0.76416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3041 ÷ 212
    3041 ÷ 4096     		y = 0.742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    0.5283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65976721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.48486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5232429223269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65976721} λ = 1.65976721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5232429223269))-π/2
    2×atan(0.218003770095419)-π/2
    2×0.214645436555361-π/2
    0.429290873110721-1.57079632675     		φ = -1.14150545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65976721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14150545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.403445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3130 KachelY 3041 1.65976721 -1.14150545 95.097656 -65.403445
    Oben rechts KachelX + 1 3131 KachelY 3041 1.66130119 -1.14150545 95.185547 -65.403445
    Unten links KachelX 3130 KachelY + 1 3042 1.65976721 -1.14214349 95.097656 -65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 3131 KachelY + 1 3042 1.66130119 -1.14214349 95.185547 -65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14150545--1.14214349) × R
    0.000638040000000117 × 6371000     		dl = 4064.95284000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14150545--1.14214349) × R
    0.000638040000000117 × 6371000     		dr = 4064.95284000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65976721-1.66130119) × cos(-1.14150545) × R
    0.00153398000000005 × 0.416226128964564 × 6371000     		do = 4067.77237261615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65976721-1.66130119) × cos(-1.14214349) × R
    0.00153398000000005 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 4062.10179597195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14150545)-sin(-1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416226128964564-0.415645899308277)×R²
    abs(1.66130119-1.65976721)×0.00058022965628618×R²
    0.00153398000000005×0.00058022965628618×6371000²
    0.00153398000000005×0.00058022965628618×40589641000000     		ar = 16523778.1057917m²